Ejercicios Resueltos 1.1 Matrices

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} $$, calcula la matriz $$ C = 3A - 2B $$.

Dadas la matriz fila $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$ y la matriz columna $$ B = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$, determina si son posibles los productos $$ A \cdot B $$ y $$ B \cdot A $$, y calcula los que estén definidos.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$, calcula el producto $$ A \cdot B $$ y determina la dimensión de la matriz resultante.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -3 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$, calcula la matriz $$ C = 2A^t + 3B $$.

Considera las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$, $$ X = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$. Calcula la matriz $$ D = A \cdot X - 2C $$.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$, calcula el producto encadenado $$ (A \cdot B) \cdot C $$.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$, halla la matriz incógnita $$ X $$ que satisface la ecuación matricial $$ 2X + 3A = B $$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} $$, calcula los productos $$ A \cdot A^t $$ y $$ A^t \cdot A $$, comprobando las dimensiones obtenidas.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$, justifica cuáles de las siguientes operaciones son posibles y calcúlalas: $$ A \cdot B $$, $$ B \cdot C $$ y $$ B^2 $$.

Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$, calcula la matriz $$ D = A \cdot B - 3C $$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$, calcula las potencias $$ A^{127} $$ y $$ A^{128} $$.

Considera las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ x & 1 & 0 \\ y & 0 & 0 \end{pmatrix}$$. Determina $$x$$ e $$y$$ tal que $$A \cdot B = B \cdot A$$.

Considera la matriz $$M(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$, donde $$x$$ es un número real. Resuelve, si es posible, la ecuación $$M(3) \cdot M(x) = M(5)$$.

Sea $$I$$ la matriz identidad de orden 3 y sea $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}$$. Determina el valor de $$b$$ para el que $$A^2 - 2A + I = 0$$.

Sea $$I$$ la matriz identidad de orden 2 y sea $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$. Halla los valores de $$a$$ y $$b$$ para los que $$A^2 + a \cdot A + b \cdot I = 0$$.

Considera $$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$$, siendo $$a$$ un número real. Calcula el valor de $$a$$ para que $$A^2 - A = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}$$.

Considera $$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$$, siendo $$a$$ un número real. ¿Existe algún valor de $$a$$ para el que la matriz $$A$$ sea simétrica? Razona la respuesta.

Considera las matrices: $$B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ y $$M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$.

Calcula $$B \cdot M$$.

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$. Comprueba que se verifica $$2A - A^2 = I$$.

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$, demuestra que se verifica la igualdad $$A^3 = -I$$, siendo $$I$$ la matriz identidad de orden 3.

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$, calcula razonadamente $$A^{100}$$.

Sean $$A$$ y $$B$$ dos matrices que verifican: $$A+B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$A-B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$. Halla las matrices $$(A+B)(A-B)$$ y $$A^2 - B^2$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & m \\ m-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1-m & 0 \end{pmatrix}$$. Para $$m = 1$$, determina $$A^{2015}$$.

Dada la matriz $$ B = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix} $$, calcula las potencias $$ B^2 $$ y $$ B^{2016} $$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{pmatrix}$$. Determina, si existen, los valores de $$k$$ para que $$A^2 = A$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$. Comprueba que $$A \cdot A^t - 2A = I$$ ($$A^t$$ denota la transpuesta de $$A$$ e $$I$$ la matriz identidad).

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$, calcula la potencia $$ A^{2013} $$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$, calcula la potencia $$ A^{2018} $$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^2$$, $$A^3$$, $$A^{2017}$$ y $$A^{2018}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^{37}$$ y $$A^{41}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix}$$. Determina la matriz $$B = A^2 - 2A$$.

Sean $$I$$ la matriz identidad de orden 2 y $$A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$. Encuentra los valores de $$m$$ para los cuales se cumple que $$(A - I)^2 = O$$, donde $$O$$ es la matriz nula de orden 2.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^{2025}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^4$$ y $$A^{31}$$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} $$, determina los valores de $$ a $$ y $$ b $$ para que se cumpla la igualdad $$ A^2 = 4I $$, donde $$ I $$ es la matriz identidad de orden 2.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^{10}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^{2024}$$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} $$ e $$ I $$ la matriz identidad de orden 2, halla los valores de las constantes $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que se verifica la identidad $$ (A + a I)^2 = b I $$.

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$. Calcula los valores $$(x, y, z)$$ tales que $$B \cdot A = C$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$. Calcula $$A^{10}$$.