Partícula en una Caja Bidimensional

Planteamiento: por qué podemos separar variables

Consideremos ahora una partícula de masa $m $ confinada en un rectángulo del plano: $0 < x < L_x \ \text{e}\\0 < y < L_y $, con paredes impenetrables en los cuatro lados.

El potencial es

$$V(x, y) = 0 \quad \text{dentro del rectángulo} $$

$$V(x, y) = \infty \quad \text{fuera} $$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en dos dimensiones es

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\right) + V(x, y)\psi = E\psi $$

Dentro del rectángulo, donde $V = 0 $:

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi = 0 $$

¿Por qué podemos buscar la solución como un producto? Observemos que el operador diferencial es una suma de un término que sólo actúa sobre $x $ más otro que sólo actúa sobre $y $, y el potencial (nulo dentro) no mezcla las variables.

En estas condiciones, es razonable proponer una solución de variables separadas:

$$\psi(x, y) = X(x)\, Y(y) $$

Esto no es un truco:

si el hamiltoniano es suma de una parte que depende sólo de $x $ más otra que depende sólo de $y $, las funciones propias pueden elegirse como productos.

Lo comprobaremos sustituyendo y viendo que la ecuación efectivamente se separa.

Separación de la ecuación

Sustituimos $\psi(x, y) = X(x)Y(y) $ en la ecuación.

Las derivadas parciales actúan así:

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = Y(y)\,\frac{d^2X}{dx^2} $$

porque $Y(y) $ es constante respecto a $x $. Análogamente,

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = X(x)\,\frac{d^2Y}{dy^2} $$

La ecuación queda

$$Y\frac{d^2X}{dx^2} + X\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}XY = 0 $$

Dividimos toda la ecuación por $X(x)Y(y) $ (que no es idénticamente nula):

$$\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{2mE}{\hbar^2} = 0 $$

Reordenamos:

$$-\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{2mE}{\hbar^2} $$

El miembro izquierdo depende sólo de $x $ y el derecho sólo de $y $. La única forma de que una función de $x $ sea igual a una función de $y $ para todo $x \ \text{e}\\y $ independientes es que ambas sean iguales a una misma constante.

Llamemos a esa constante $k_x^2 $. Obtenemos dos ecuaciones ordinarias:

$$\frac{d^2X}{dx^2} + k_x^2 X = 0 $$

y, definiendo $k_y^2 = 2mE/\hbar^2 - k_x^2 $,

$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k_y^2 Y = 0 $$

Cada una es idéntica a la ecuación de la caja unidimensional que ya resolvimos.

Condiciones de contorno y cuantización

La función de onda debe anularse en las cuatro paredes, por continuidad con el exterior donde es idénticamente nula:

$$X(0) = 0, \quad X(L_x) = 0 $$

$$Y(0) = 0, \quad Y(L_y) = 0 $$

Del estudio de la caja unidimensional sabemos que esto exige

$$k_x = \frac{n_x\pi}{L_x}, \quad n_x = 1, 2, 3, \dots $$

$$k_y = \frac{n_y\pi}{L_y}, \quad n_y = 1, 2, 3, \dots $$

con funciones normalizadas

$$X_{n_x}(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}}\,\sen\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right) $$

$$Y_{n_y}(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}}\,\sen\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right) $$

La función de onda total normalizada es el producto:

$$\psi_{n_x,n_y}(x, y) = \frac{2}{\sqrt{L_x L_y}}\,\sen\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sen\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right) $$

Comprobemos la normalización:

$$\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} |\psi_{n_x,n_y}|^2\, dx\, dy = \left[\int_0^{L_x} |X_{n_x}|^2 dx\right]\left[\int_0^{L_y} |Y_{n_y}|^2 dy\right] = 1 \times 1 = 1 $$

porque cada integral unidimensional vale uno al estar $X \ \text{e}\\Y $ normalizadas por separado.

La integral doble se factoriza porque el integrando es un producto de una función de $x $ por una de $y $

Energías y degeneración

La energía total es la suma de las energías asociadas a cada dirección.

De $k_x^2 + k_y^2 = 2mE/\hbar^2 $ despejamos:

$$E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(k_x^2 + k_y^2\right) = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2}\right) $$

Con $\hbar = h/2\pi $:

$$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2}\right), \quad n_x, n_y = 1, 2, 3, \dots $$

El estado fundamental es $(n_x, n_y) = (1, 1) $

Aparece un fenómeno nuevo respecto a la caja unidimensional: la degeneración.

Dos estados distintos pueden tener la misma energía.

Esto ocurre cuando el rectángulo es un cuadrado, $L_x = L_y = L $. Entonces

$$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8mL^2}\left(n_x^2 + n_y^2\right) $$

y por ejemplo los estados $(1, 2) $ y $(2, 1) $ tienen la misma energía:

$$E_{1,2} = E_{2,1} = \frac{h^2}{8mL^2}(1 + 4) = \frac{5h^2}{8mL^2} $$

pero son funciones distintas:

$$\psi_{1,2} \propto \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sen\left(\frac{2\pi y}{L}\right), \quad \psi_{2,1} \propto \sen\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\sen\left(\frac{\pi y}{L}\right) $$

¿Por qué ocurre? Porque el cuadrado tiene simetría de intercambio entre $x \ \text{e}\\y $: girar el sistema noventa grados intercambia los dos estados sin cambiar la energía.

La degeneración refleja siempre una simetría del potencial.

En un rectángulo con $L_x \neq L_y $ esta simetría se rompe y en general no hay degeneración.

📝 Ejemplo 1: Niveles de energía para un cuadrado de lado L

Los primeros niveles son:

- $(1,1) $: $$E = \frac{h^2}{8mL^2}(1+1) = \frac{2h^2}{8mL^2} $$, no degenerado.

- $(1,2) $ y $(2,1) $: $E = \frac{5h^2}{8mL^2} $, degeneración 2.

- $(2,2) $: $E = \frac{8h^2}{8mL^2} $, no degenerado.

- $(1,3) $ y $(3,1) $: $E = \frac{10h^2}{8mL^2} $, degeneración 2.

- $(2,3) $ y $(3,2) $: $E = \frac{13h^2}{8mL^2} $, degeneración 2.

- $(3,3) $: $E = \frac{18h^2}{8mL^2} $, no degenerado.

Observemos que el nivel $(1,1) $ tiene un sólo máximo en el centro del cuadrado, mientras que $(1,2) $ tiene dos máximos alineados verticalmente y $(2,1) $ los tiene alineados horizontalmente: son el mismo patrón girado noventa grados, por eso comparten energía.

📝 Ejemplo 2: Densidad de probabilidad del estado (2,2) en un cuadrado

$$|\psi_{2,2}|^2 = \frac{4}{L^2}\sen^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\sen^2\left(\frac{2\pi y}{L}\right) $$

Cada seno al cuadrado tiene dos máximos en el intervalo: en $x = L/4 $ y $x = 3L/4 $ (y lo mismo para $y $).

Por tanto la densidad tiene cuatro máximos, en los puntos $(L/4, L/4) $, $(L/4, 3L/4) $, $(3L/4, L/4) $ y $(3L/4, 3L/4) $, separados por líneas nodales en $x = L/2 \ \text{e}\\y = L/2 $ donde la probabilidad es nula.