Inicio / Asignaturas / Matemáticas II / Distancia entre dos puntos

2.10.1 Distancia entre dos puntos

Enunciado del ejercicio

1. Definición y fórmula La distancia euclídea entre dos puntos \(A(x_1 , y_1 , z_1 )\) y \(B(x_2 , y_2 , z_2 )\) del espacio es el módulo del vector \(\vec{AB}\) que los une: \(d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\) En particular, la distancia de un punto \(P(x_0 , y_0 , z_0 )\) al origen \(O(0,0,0)\) es: \(d(O,P) = \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}\) Ejemplo: La distancia entre \(A(1, 2, 0)\) y \(B(4, 6, 0)\) es \(d(A, B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) 2. Propiedades de la distancia La distancia euclídea verifica tres propiedades: no negatividad, \(d(A,B) \ge 0\), y además \(d(A,B) = 0\) exactamente cuando \(A = B\); simetría, \(d(A,B) = d(B,A)\); y la desigualdad triangular, \(d(A,B) \le d(A,C)+d(C,B)\) para cualquier tercer punto \(C\) Ejemplo: La distancia verifica \(d(A, A) = 0\) y la simetría \(d(A, B) = d(B, A)\): con \(A(1, 2, 0)\) y \(B(4, 6, 0)\), en ambos sentidos se obtiene \(5\) Ejemplo 1: Distancia directa entre dos puntos Calcula la distancia entre \(A(2,-1,5)\) y \(B(5; 3,5)\)

Explicación

Aplicamos directamente la fórmula de la distancia: primero formamos el vector \(\vec{AB}\) restando coordenadas y después calculamos su módulo.

PASO 1

Cálculo del vector AB

Restamos las coordenadas de \(B\) menos las de \(A\):

$$\vec{AB} = (5-2, 3-(-1), 5-5) = (3,4,0)$$
PASO 2

Cálculo del módulo

$$d(A,B) = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$
Conclusión

La distancia entre \(A\) y \(B\) es de \(5\) unidades.

Ejemplo 2: Punto del eje OZ a distancia dada

Halla los puntos del eje \(OZ\) que distan \(13\) unidades del punto \(A(1,-2,3)\)

Explicación

Un punto del eje \(OZ\) tiene la forma \(P(0,0,z)\)

Imponemos que \(d(A,P) = 13\) y resolvemos la ecuación irracional resultante elevando al cuadrado.

PASO 1

Planteamiento de la ecuación

$$d(A,P) = \sqrt{(0-1)^2+(0+2)^2+(z-3)^2} = 13$$

Elevando ambos miembros al cuadrado:

$$1+4+(z-3)^2 = 169$$
PASO 2

Resolución de la ecuación

$$(z-3)^2 = 164$$
$$z-3 = \pm\sqrt{164} = \pm 2\sqrt{41}$$
$$z = 3+2\sqrt{41} \quad \text{o} \quad z = 3-2\sqrt{41}$$
Conclusión

Hay dos puntos: \(P_1(0,0,3+2\sqrt{41})\) y \(P_2(0,0,3-2\sqrt{41})\)

Ejemplo 3: Lugar geométrico de equidistancia

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de \(A(1,0,0)\) y \(B(-1,0,0)\)

Explicación

Imponemos \(d(P,A) = d(P,B)\) con \(P(x,y,z)\) genérico y simplificamos; al elevar al cuadrado desaparecen las raíces y queda una ecuación lineal: el plano mediador del segmento \(AB\)

PASO 1

Igualdad de distancias

$$\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2} = \sqrt{(x+1)^2+y^2+z^2}$$

Elevando al cuadrado:

$$(x-1)^2+y^2+z^2 = (x+1)^2+y^2+z^2$$
PASO 2

Simplificación

Desarrollando los cuadrados: \(x^2-2x+1 = x^2+2x+1\), de donde \(-2x = 2x\), es decir:

$$x = 0$$
Conclusión

El lugar geométrico es el plano \(x = 0\) (el plano \(YZ\)), que es el plano mediador del segmento \(AB\)

Ejemplo 4: Perímetro de un triángulo en el espacio

Calcula el perímetro del triángulo de vértices \(A(0,0,0)\), \(B(1; 2,3)\) y \(C(4,0,1)\). ¿Es isósceles?

Explicación

Calculamos las longitudes de los tres lados con la fórmula de la distancia y las sumamos; después comparamos para ver si hay dos lados iguales.

PASO 1

Longitudes de los lados

$$d(A,B) = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$$
$$d(B,C) = \sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}$$
$$d(A,C) = \sqrt{4^2+0^2+1^2} = \sqrt{17}$$
PASO 2

Perímetro y clasificación

$$P = \sqrt{14}+\sqrt{17}+\sqrt{17} = \sqrt{14}+2\sqrt{17}$$

Como \(d(B,C) = d(A,C)\), el triángulo tiene dos lados iguales.

Conclusión

El perímetro es \(\sqrt{14}+2\sqrt{17}\) unidades y el triángulo es isósceles.

Ejemplo 5: Puntos de una recta a una distancia fija dada de otro punto

Halla los puntos de la recta \(r: (x, y, z) = (1, -1, 0) + \lambda(2, 1, -2)\) cuya distancia al punto \(P(1, 2, 3)\) sea igual a \(5\) unidades.

Explicación

Para resolver este problema expresaremos las coordenadas de un punto genérico de la recta en función del parámetro. A continuación aplicaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos igualándola a la distancia requerida. Esto nos dará una ecuación de segundo grado cuyas soluciones serán los parámetros de los puntos buscados.

PASO 1

Coordenadas del punto genérico de la recta.

Las ecuaciones paramétricas de la recta \(r\) son:

$$x = 1 + 2\lambda$$
$$y = -1 + \lambda$$
$$z = -2\lambda$$

Cualquier punto \(Q(\lambda)\) de la recta tiene coordenadas:

$$Q(1 + 2\lambda, -1 + \lambda, -2\lambda)$$
PASO 2

Vector entre el punto dado y el genérico.

Calculamos el vector \(\vec{PQ}\):

$$\vec{PQ} = ((1 + 2\lambda) - 1, (-1 + \lambda) - 2, -2\lambda - 3) = (2\lambda, \lambda - 3, -2\lambda - 3)$$
PASO 3

Imposición de la distancia y ecuación cuadrática.

La distancia entre \(P\) y \(Q\) al cuadrado debe ser igual a \(5^2 = 25\):

$$|\vec{PQ}|^2 = (2\lambda)^2 + (\lambda - 3)^2 + (-2\lambda - 3)^2 = 25$$

Desarrollamos los cuadrados de los binomios:

$$4\lambda^2 + (\lambda^2 - 6\lambda + 9) + (4\lambda^2 + 12\lambda + 9) = 25$$

Agrupamos términos semejantes:

$$9\lambda^2 + 6\lambda + 18 = 25$$
$$9\lambda^2 + 6\lambda - 7 = 0$$
PASO 4

Resolución de la ecuación.

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$$\lambda = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7)}}{2 \cdot 9} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 252}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{288}}{18}$$

Simplificamos la raíz sabiendo que \(288 = 144 \cdot 2\):

$$\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$
$$\lambda = \frac{-6 \pm 12\sqrt{2}}{18} = -\frac{1}{3} \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{3}$$
PASO 5

Determinación de los puntos.

Obtenemos dos valores para \(\lambda\), lo que genera dos puntos simétricos sobre la recta a distancia 5 del punto \(P\):

$$Q_1 = \left(1 + 2\left(\frac{-1 + 2\sqrt{2}}{3}\right), -1 + \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{3}, -2\left(\frac{-1 + 2\sqrt{2}}{3}\right)\right)$$
$$Q_2 = \left(1 + 2\left(\frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3}\right), -1 + \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3}, -2\left(\frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3}\right)\right)$$
Conclusión

Existen exactamente dos puntos sobre la recta cuya distancia a P es igual a 5 unidades, dados por los valores paramétricos \(\lambda_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{3}\) y \(\lambda_2 = \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3}\)