2.13.1 Ángulo entre dos rectas que se cortan

Definición y fórmula del ángulo entre dos rectas

El ángulo $\alpha $ que forman dos rectas $r $ y $s $ es el ángulo agudo determinado por sus vectores directores $\vec{u} $ y $\vec{v} $

Por definición $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $ y se calcula con:

$$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|} = \frac{|u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \, \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} } $$

El valor absoluto del numerador garantiza que el ángulo obtenido sea agudo o recto.

La fórmula es válida tanto si las rectas se cortan como si se cruzan en el espacio.

Casos particulares:

si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $ entonces $\alpha = 90^\circ $ (rectas ortogonales);

si $\vec{u} \parallel \vec{v} $ entonces $\alpha = 0^\circ $ (rectas paralelas o coincidentes).

ð Ejemplo:

Para las rectas de vectores directores $\vec{u} = (1, 0, 0) $ y $\vec{v} = (1, 1, 0) $, $$\cos\alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} }= \frac{\sqrt{2}}{2} $$, luego $\alpha = 45^\circ $

ð Ejemplo 1: Ángulo agudo entre dos rectas

Halla el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores directores son $\vec{u} = (1, 1, 0) $ y $\vec{v} = (0, 1, 1) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto escalar y los módulos de los vectores.

A continuación aplicaremos la fórmula del coseno.

Para terminar despejaremos el ángulo.

ð PASO 1

Producto escalar y módulos.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + 1(1) + 0(1) = 1 $$

$$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} $$

ð PASO 2

Aplicación de la fórmula y ángulo.

$$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \, \sqrt{2} }= \frac{1}{2} $$

$$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $$

Conclusión: El ángulo que forman las rectas es de $60^\circ $

ð Ejemplo 2: Ángulo con una recta en forma implícita

Halla el ángulo que forman la recta $$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{1} $$ y la recta $$s: \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ 2y + z - 1 = 0 \end{cases} $$

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de $s $ como producto vectorial de las normales de sus planos.

A continuación calcularemos el producto escalar y los módulos.

Para terminar aplicaremos la fórmula del coseno.

ð PASO 1

Vector director de s.

Con $\vec{n}_1 = (1, -1, 0) $ y $\vec{n}_2 = (0, 2, 1) $:

$$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-1, -1, 2) $$

El vector director de $r $ es $\vec{v}_r = (2, 3, 1) $

ð PASO 2

Producto escalar y módulos.

$$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = 2(-1) + 3(-1) + 1(2) = -3 $$

$$|\vec{v}_r| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}, \quad |\vec{v}_s| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} $$

ð PASO 3

Ángulo entre las rectas.

$$\cos \alpha = \frac{|-3|}{\sqrt{14} \, \sqrt{6} }= \frac{3}{\sqrt{84} }= \frac{3}{2\sqrt{21} }= \frac{\sqrt{21}}{14} $$

$$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 70,9^\circ $$

Conclusión: El ángulo que forman las rectas es $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 70,9^\circ $$

ð Ejemplo 3: Valor del parámetro para un ángulo dado

Determina el valor de $m $ para que las rectas $r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(2, -1, 1) $ y $s: (x, y, z) = (0, 2, -1) + \mu(1, m, 2) $ formen un ángulo de $45^\circ $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula del coseno con los vectores directores.

A continuación igualaremos a $\cos 45^\circ $

Para terminar elevaremos al cuadrado y resolveremos la ecuación de segundo grado.

ð PASO 1

Fórmula del coseno con el parámetro m.

Con $\vec{u} = (2, -1, 1) $ y $\vec{v} = (1, m, 2) $:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - m + 2 = 4 - m $$

$$|\vec{u}| = \sqrt{6}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{m^2 + 5} $$

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|4 - m|}{\sqrt{6} \, \sqrt{m^2 + 5} } $$

ð PASO 2

Elevación al cuadrado y ecuación de segundo grado.

$$\frac{1}{2} = \frac{(4 - m)^2}{6(m^2 + 5)} \rightarrow 3(m^2 + 5) = (4 - m)^2 $$

$$3m^2 + 15 = 16 - 8m + m^2 \rightarrow 2m^2 + 8m - 1 = 0 $$

ð PASO 3

Resolución de la ecuación.

$$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 8}}{4} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{4} = -2 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

Conclusión: Los valores son $m = -2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} $ y $m = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} $

ð Ejemplo 4: Ángulo entre dos rectas en forma implícita

Calcula el ángulo que forman las rectas $$r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases} $$ y $$s: \begin{cases} x - y = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases} $$

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores de ambas rectas como productos vectoriales.

A continuación calcularemos el producto escalar y los módulos.

Para terminar aplicaremos la fórmula del coseno.

ð PASO 1

Vectores directores.

Para $r ,\ \text{con}\\\vec{n}_1 = (1, 1, 0) $ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1) $:

$$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-1, 1, 1) $$

Para $s ,\ \text{con}\\\vec{n}_3 = (1, -1, 0) $ y $\vec{n}_4 = (0, 1, 1) $:

$$\vec{v}_s = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 = (-1, -1, 1) $$

ð PASO 2

Producto escalar y módulos.

$$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (-1)(-1) + 1(-1) + 1(1) = 1 $$

$$|\vec{v}_r| = \sqrt{3}, \quad |\vec{v}_s| = \sqrt{3} $$

ð PASO 3

Ángulo entre las rectas.

$$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{3} \, \sqrt{3} }= \frac{1}{3} $$

$$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70,53^\circ $$

Conclusión: El ángulo que forman las rectas es $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70,53^\circ $$

ð Ejemplo 5: Rectas secantes perpendiculares con parámetro

Halla el valor del parámetro $k $ para que las rectas secantes $r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, k, -1) $ y $s: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \mu(2, 1, k) $ se corten formando un ángulo recto de $90^\circ $

Explicación:

Para resolver este problema observamos en primer lugar que ambas rectas se cortan en el punto común dado por los parámetros cero.

Para que formen un ángulo de 90 grados, sus vectores directores deben ser perpendiculares, lo que equivale a imponer que su producto escalar sea estrictamente igual a cero.

Resolveremos la ecuación lineal resultante en el parámetro.

ð PASO 1

Vectores directores y punto de corte.

Ambas rectas pasan por el punto común $P(1, 0, 2) $ (haciendo $\lambda = 0 $ y $\mu = 0 $), por lo que son secantes para cualquier valor de $k $

Vector director de $r $: $\vec{u} = (1, k, -1) $

Vector director de $s $: $\vec{v} = (2, 1, k) $

ð PASO 2

Condición de perpendicularidad (ángulo de 90 grados).

El coseno del ángulo entre dos rectas viene dado por:

$$\cos(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $$

Para que $$\theta = 90^\circ \implies \cos(90^\circ) = 0 $$, es necesario y suficiente que:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

ð PASO 3

Planteamiento y resolución de la ecuación.

Calculamos el producto escalar:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(2) + k(1) + (-1)(k) = 2 + k - k = 2 $$

El producto escalar es idénticamente igual a $2 \ne 0 $ para cualquier valor real de $k $

Como el término en $k $ se cancela ($k - k = 0 $), la ecuación $2 = 0 $ no tiene solución en $\mathbb{R} $

Conclusión: No existe ningún valor real del parámetro k para el cual las rectas sean perpendiculares, ya que el producto escalar de sus vectores directores es una constante no nula igual a 2.