El efecto fotoeléctrico
Descubrimiento y hechos experimentales
En el año 1887 el físico alemán Heinrich Hertz observó, de manera accidental, que al iluminar con luz ultravioleta los electrodos de un descargador eléctrico se facilitaba la producción de chispas.
Unos años más tarde, en 1902, Philipp Lenard estudió este fenómeno de forma cuantitativa y estableció sus características esenciales: cuando una radiación electromagnética de frecuencia suficientemente elevada incide sobre la superficie pulida de un metal, este emite electrones, denominados fotoelectrones.
Este fenómeno recibe el nombre de efecto fotoeléctrico y constituye una de las evidencias experimentales más directas de la naturaleza corpuscular de la luz.
El dispositivo experimental básico consta de una placa metálica que actúa como cátodo, iluminada por una fuente de radiación monocromática, y un colector que recoge los electrones emitidos.
Aplicando una diferencia de potencial entre ambos electrodos se puede medir la corriente fotoeléctrica y la energía cinética máxima de los electrones expulsados.
De estas medidas se extraen tres hechos experimentales fundamentales.
Primero, existe una frecuencia mínima, llamada frecuencia umbral \(\nu_0 \), por debajo de la cual no se produce emisión de electrones por intensa que sea la radiación incidente.
Segundo, la emisión de fotoelectrones es prácticamente instantánea, sin retardo apreciable entre la iluminación y la expulsión del electrón.
Tercero, la energía cinética máxima de los fotoelectrones depende exclusivamente de la frecuencia de la radiación y no de su intensidad: aumentar la intensidad incrementa el número de electrones emitidos, pero no la energía con la que salen.
si se ilumina potasio, con \(\Phi = 2{,}3\text{ eV} \), con luz roja intensa de \(700\text{ nm} \), no se emite ningún electrón.
La energía de cada fotón rojo es:
Como es inferior a la función trabajo, no hay emisión por muchos fotones que lleguen.
Los tres enigmas de la física clásica
Según la teoría ondulatoria clásica de Maxwell, la energía transportada por una onda electromagnética es proporcional al cuadrado de su amplitud, es decir, a su intensidad.
Por tanto, cabría esperar que una luz muy intensa, aunque fuese de baja frecuencia, acumulase con el tiempo energía suficiente para arrancar electrones del metal.
Sin embargo, el experimento demuestra que por debajo de la frecuencia umbral \(\nu_0 \) no hay emisión alguna, por grande que sea la intensidad.
Este es el primer enigma.
El segundo enigma es la instantaneidad.
Si el electrón absorbiera la energía de la onda de forma continua, como predice la física clásica, con luz de baja intensidad haría falta un tiempo considerable para acumular la energía necesaria para escapar del metal.
Los cálculos clásicos predicen retardos del orden de minutos u horas; el experimento muestra emisión inmediata.
El tercer enigma es la dependencia de la energía cinética.
Clásicamente, una onda más intensa debería comunicar más energía a los electrones y estos deberían salir con mayor velocidad.
Sin embargo, la energía cinética máxima de los fotoelectrones crece linealmente con la frecuencia de la luz y es completamente independiente de la intensidad.
Ninguna de estas tres observaciones encaja en el marco de la teoría ondulatoria clásica.
La explicación de Einstein: el fotón
En 1905 Albert Einstein resolvió estos enigmas extendiendo la hipótesis cuántica de Planck: propuso que la propia radiación electromagnética está formada por paquetes discretos de energía, los fotones, cada uno de los cuales transporta una energía directamente proporcional a su frecuencia:
donde \(h \) es la constante de Planck, de valor
y \(c \) es la velocidad de la luz,
En esta imagen corpuscular, un fotón interacciona con un único electrón del metal transfiriéndole íntegramente su energía en un sólo acto elemental.
De este modo los tres enigmas desaparecen:
si la energía del fotón \(h \cdot \nu \) es menor que la energía mínima necesaria para extraer el electrón, no hay emisión por muchos fotones que lleguen, lo que explica la frecuencia umbral; la transferencia de energía es instantánea porque ocurre en una colisión individual, lo que explica la ausencia de retardo; y cada electrón recibe la energía de un sólo fotón, por lo que su energía cinética depende de la frecuencia y no del número de fotones, es decir, no de la intensidad.
Por esta explicación del efecto fotoeléctrico Einstein recibió el premio Nobel de Física en1921.
La ecuación del efecto fotoeléctrico
Para arrancar un electrón del interior del metal hay que vencer la atracción que lo liga a la red cristalina.
La energía mínima necesaria para extraerlo se denomina función trabajo o trabajo de extracción, simbolizada por \(\Phi \) o \(W_0 \), y es una propiedad característica de cada metal.
Por conservación de la energía, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del fotoelectrón:
Esta es la ecuación del efecto fotoeléctrico.
La energía cinética máxima corresponde a los electrones menos ligados del metal; los electrones de capas más internas salen con menor energía.
Despejando la energía cinética máxima se obtiene una relación lineal con la frecuencia:
Al representar gráficamente \(E_{c,\text{máx}} \) frente a la frecuencia \(\nu \) se obtiene una función a trozos: vale cero por debajo de la frecuencia umbral \(\nu_0 = \Phi/h \) (no hay emisión de electrones) y es una recta de pendiente \(h \) a partir de dicha frecuencia.
Esta fue una de las primeras determinaciones experimentales independientes de la constante de Planck.
El fotoelectrón más energético sale con:
Frecuencia umbral y potencial de frenado
La condición límite para que se produzca el efecto fotoeléctrico es que la energía del fotón iguale exactamente a la función trabajo, de modo que el electrón sale con energía cinética nula.
La frecuencia y la longitud de onda correspondientes se denominan frecuencia umbral y longitud de onda umbral:
Toda radiación con frecuencia menor que \(\nu_0 \), o equivalentemente con longitud de onda mayor que \(\lambda_0 \), es incapaz de producir efecto fotoeléctrico en ese metal.
A modo de referencia, las funciones trabajo de algunos metales son: cesio \(2{,}1\text{ eV} \), potasio \(2{,}3\text{ eV} \), sodio \(2{,}75\text{ eV} \), cinc \(4{,}3\text{ eV} \), cobre \(4{,}7\text{ eV} \) y platino \(5{,}65\text{ eV} \)
para el cesio, con $$\Phi = 2{,}1\text{ eV} = 3{,}36 \times 10^{-19}\text{ J} $$:
Toda luz más roja que el amarillo es incapaz de arrancar electrones del cesio.
Experimentalmente, la energía cinética máxima de los fotoelectrones se mide aplicando un potencial retardador que frene a los electrones hasta detenerlos.
El potencial mínimo que anula la corriente fotoeléctrica se llama potencial de frenado \(V_0 \) y verifica:
donde \(e \) es la carga elemental del electrón,
Combinando con la ecuación fotoeléctrica:
de modo que midiendo \(V_0 \) para distintas frecuencias se determinan tanto \(h \) como \(\Phi \)
Representaciones gráficas de la Energía del Fotón
La relación \(E = h \cdot \nu \) permite predecir la forma de varias representaciones gráficas.
Frente a la frecuencia \(\nu \), la energía es una recta que pasa por el origen con pendiente \(h \)
Frente a la longitud de onda \(\lambda \), usando \(E = h \cdot c / \lambda \), la energía describe una hipérbola equilátera decreciente.
Frente al inverso de la longitud de onda \(1/\lambda \), la relación \(E = h \cdot c \cdot (1/\lambda) \) vuelve a ser una recta por el origen, de pendiente \(h \cdot c \)
En cambio, frente a la velocidad del fotón la energía es una línea horizontal constante, porque todos los fotones, sea cual sea su energía, se propagan en el vacío exactamente a la velocidad \(c \)
Trascendencia histórica
El efecto fotoeléctrico, junto con la radiación del cuerpo negro, constituye uno de los dos pilares experimentales sobre los que se edificó la mecánica cuántica.
Demostró que la luz, paradigma clásico de fenómeno ondulatorio, posee también un comportamiento corpuscular: en su interacción con la materia la energía se intercambia en cuantos indivisibles.
Esta dualidad onda-corpúsculo de la radiación preparó el camino para que Louis de Broglie, en 1924, propusiera la dualidad simétrica para las partículas materiales, completando así la revolución conceptual que desembocaría en la ecuación de Schrödinger.
Una luz monocromática de longitud de onda \(450 \text{ nm} \) arranca electrones de la superficie pulida de un metal con una energía cinética de \(7{,}63 \times 10^{-20} \text{ J} \)
Calculad el valor máximo de la longitud de onda de una radiación capaz de producir efecto fotoeléctrico en este metal.
Vamos a calcular primero la energía del fotón incidente con la ecuación de Planck, restarle la energía cinética medida para obtener la función trabajo del metal y finalmente despejar la longitud de onda umbral a partir de dicha función trabajo.
Cálculo de la energía del fotón incidente.
La energía de cada fotón viene dada por la ecuación de Planck:
Determinación de la función trabajo del metal.
Aplicamos la ecuación del efecto fotoeléctrico \(h \cdot \nu = \Phi + E_{c,\text{máx}} \) y despejamos la función trabajo:
Expresada en electronvoltios, dividiendo por la carga elemental:
Cálculo de la longitud de onda umbral.
La longitud de onda máxima capaz de producir efecto fotoeléctrico es aquella cuya energía iguala exactamente a la función trabajo:
Toda radiación con longitud de onda superior a \(544\text{ nm} \), es decir, de color amarillo hacia el rojo, será incapaz de arrancar electrones de este metal.
la función trabajo del metal es $$\Phi = 3{,}651 \times 10^{-19}\text{ J} = 2{,}28\text{ eV} $$ y su longitud de onda umbral es \(544\text{ nm} \)
Cuando una luz de longitud de onda \(2{,}54 \times 10^{-5} \text{ cm} \) incide sobre una superficie pulida de cobre hay que aplicar un potencial de \(0{,}59 \text{ V} \) para detener la emisión de electrones.
Calculad la longitud de onda umbral para el cobre.
Vamos a convertir la longitud de onda a metros, calcular la energía del fotón incidente, obtener la energía cinética máxima a partir del potencial de frenado y, restando, hallar la función trabajo del cobre para finalmente despejar su longitud de onda umbral.
Conversión de unidades y energía del fotón.
Pasamos la longitud de onda a metros:
La energía del fotón incidente es:
Energía cinética máxima a partir del potencial de frenado.
El potencial de frenado detiene a los electrones más energéticos, luego:
Función trabajo y longitud de onda umbral del cobre.
Restamos para obtener la función trabajo:
La longitud de onda umbral resulta:
La frecuencia umbral correspondiente es
$$\nu_0 = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{2{,}99792 \times 10^8\text{ m/s}}{2{,}889 \times 10^{-7}\text{ m}} = 1{,}04 \times 10^{15}\text{ s}^{-1} $$, en la región del ultravioleta, coherente con que el cobre necesite luz ultravioleta para emitir fotoelectrones.
la función trabajo del cobre es \(6{,}876 \times 10^{-19}\text{ J} \), su longitud de onda umbral \(289\text{ nm} \) y su frecuencia umbral \(1{,}04 \times 10^{15}\text{ s}^{-1} \), en el ultravioleta.
Una lámpara de vapor de sodio de \(100 \text{ W} \) emite luz monocromática de longitud de onda \(589 \text{ nm} \)
Calculad cuántos fotones emite por segundo.
Vamos a calcular la energía de cada fotón con la ecuación de Planck y dividir la potencia de la lámpara, que es energía por unidad de tiempo, entre dicha energía para obtener el número de fotones por segundo.
Energía de cada fotón.
Número de fotones por segundo.
La potencia de \(100 \text{ W} \) equivale a \(100 \text{ J/s} \), luego:
Este número ingente de fotones explica por qué la luz ordinaria parece un flujo continuo de energía: aunque la energía esté cuantizada, el cuanto individual \(h \cdot \nu \) es tan pequeño que su granularidad resulta indetectable a escala macroscópica.
la lámpara emite \(2{,}965 \times 10^{20} \) fotones por segundo, un número tan ingente que la granularidad de la luz resulta indetectable a escala macroscópica.