3.1.8 Dominio de una funcion raices pares

Raíces de índice impar

Dada una función radical $f(x) = \sqrt[n]{g(x)} $ con $n $ impar, como $\sqrt[3]{-8} = -2 $, las raíces de orden impar están definidas para cualquier número real, positivo, negativo o cero.

Por tanto, el índice impar no añade ninguna restricción:

$$\text{Dom}(\sqrt[n]{g(x)}) = \text{Dom}(g) \quad \text{con } n \text{ impar} $$

📝 Ejemplo:

La función $f(x) = \sqrt[3]{x - 5} $ tiene índice impar, luego está definida en todo $\mathbb{R} $: por ejemplo $f(-3) = \sqrt[3]{-8} = -2 $

Raíces de índice par

Si el índice $n $ es par, como en la raíz cuadrada, en los números reales no existen raíces de números negativos.

Se exige entonces que el radicando sea mayor o igual que cero:

$$\text{Dom}(\sqrt[n]{g(x)}) = \{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \ge 0 \} \quad \text{con } n \text{ par} $$

En la práctica se resuelve la inecuación $g(x) \ge 0 $ estudiando el signo, y se intersecta con las restricciones propias de $g $

📝 Ejemplo:

La función $f(x) = \sqrt{3x - 6} $ tiene índice par, luego exige radicando no negativo: $3x - 6 \ge 0 $, es decir, $x \ge 2 $

📝 Ejemplo 1: Dominio de una raíz cuadrada con radicando lineal

Halla el dominio de la función $f(x) = \sqrt{16 - x^2} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de radicando no negativo, propia del índice par.

A continuación resolveremos la inecuación despejando $x^2 $

Para terminar escribiremos el dominio como intervalo.

👉 PASO 1

Planteamiento de la inecuación.

$$16 - x^2 \ge 0 $$

👉 PASO 2

Resolución.

Despejamos:

$$16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies |x| \le 4 $$

✅ Conclusión

$$\text{Dom}(f) = [-4, 4] $$

📝 Ejemplo 2: Dominio de una raíz cúbica

Halla el dominio de la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 5x} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la paridad del índice de la raíz.

A continuación aplicaremos la regla correspondiente.

Para terminar escribiremos el dominio.

👉 PASO 1

Paridad del índice.

El índice es $n = 3 $, que es impar.

Las raíces de orden impar están definidas para cualquier número real.

👉 PASO 2

Dominio del radicando.

El radicando $x^2 - 5x $ es un polinomio, definido en todo $\mathbb{R} $, y el índice impar no añade restricciones.

✅ Conclusión

$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} $$

📝 Ejemplo 3: Raíz cuadrada con inecuación de segundo grado

Halla el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 9} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de radicando no negativo.

A continuación factorizaremos el radicando y estudiaremos su signo en los intervalos que determinan sus raíces.

Para terminar escribiremos el dominio como unión de intervalos.

👉 PASO 1

Planteamiento y factorización.

$$x^2 - 9 \ge 0 $$

Factorizamos la diferencia de cuadrados:

$$(x - 3)(x + 3) \ge 0 $$

👉 PASO 2

Estudio del signo.

Las raíces $x = -3 $ y $x = 3 $ dividen la recta real en los intervalos $(-\infty, -3) $, $(-3, 3) $ y $(3, +\infty) $

La parábola $x^2 - 9 $ abre hacia arriba, luego es no negativa fuera de sus raíces, es decir, en $(-\infty, -3] $ y en $[3, +\infty) $

✅ Conclusión

$$\text{Dom}(f) = (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) $$

📝 Ejemplo 4: Raíz cuadrada de un cociente

Halla el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer las dos condiciones: radicando no negativo y denominador no nulo.

A continuación estudiaremos el signo de la fracción.

Para terminar escribiremos el dominio.

👉 PASO 1

Condiciones.

$$\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0 \quad \text{con} \quad x + 2 \neq 0 $$

La fracción es no negativa cuando numerador y denominador tienen el mismo signo.

👉 PASO 2

Estudio del signo de la fracción.

Si ambos son no negativos: $x - 1 \ge 0 $ y $x + 2 > 0 $, se obtiene $x \ge 1 $

Si ambos son no positivos: $x - 1 \le 0 $ y $x + 2 < 0 $, se obtiene $x < -2 $

El valor $x = -2 $ queda excluido por anular el denominador.

✅ Conclusión

$$\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) $$

📝 Ejemplo 5: Cociente con raíz en el denominador

Halla el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5 - x^2} } $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por combinar las restricciones de la raíz del denominador: radicando no negativo y raíz no nula.

A continuación resolveremos la inecuación estricta resultante.

Para terminar escribiremos el dominio.

👉 PASO 1

Condición estricta del radicando.

El radicando debe ser no negativo por el índice par, $5 - x^2 \ge 0 $, y además la raíz no puede valer cero por estar en un denominador.

Ambas condiciones se resumen en:

$$5 - x^2 > 0 $$

👉 PASO 2

Resolución.

$$5 - x^2 > 0 \implies x^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} $$

✅ Conclusión

$$\text{Dom}(f) = (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) $$