3.2.5 Operaciones con límites

1. Álgebra de límites finitos

Si $\lim_{x \to c} f(x) = A $ y $\lim_{x \to c} g(x) = B $ existen y son finitos, entonces se puede operar con los límites:

$$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = A + B $$

$$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = A - B $$

$$\lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B $$

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $$ si $B \neq 0 $

$$\lim_{x \to c} f(x)^n = A^n $$

ð Ejemplo:

Como $\lim_{x \to 1} x^2 = 1 $ y $\lim_{x \to 1} 1 = 1 $, el límite de la suma es la suma de los límites: $\lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2 $

Límites por sustitución directa

Las funciones polinómicas, racionales (en puntos de su dominio), exponenciales, logarítmicas (en puntos de su dominio), trigonométricas y radicales (en puntos de su dominio) son continuas: su límite en un punto se calcula sustituyendo directamente el valor.

ð Ejemplo:

La función $f(x) = \frac{x^3 - 1}{x + 1} $ es continua en $x = 2 $, luego su límite se calcula por sustitución directa: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3} $$

ð Ejemplo 1: Operar con límites conocidos

Sabiendo que $\lim_{x \to 2} f(x) = 3 $ y $\lim_{x \to 2} g(x) = -1 $, calcular $$\lim_{x \to 2} \frac{(2f(x) - g(x))^2}{f(x) + g(x)} $$

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar las reglas del álgebra de límites al numerador.

A continuación las aplicaremos al denominador.

Para terminar dividiremos ambos resultados, comprobando que el denominador no se anula.

ð PASO 1

Límite del numerador.

$$\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x)) = 2\cdot 3 - (-1) = 7 $$

Al elevar al cuadrado: $\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x))^2 = 7^2 = 49 $

ð PASO 2

Límite del denominador.

$$\lim_{x \to 2} (f(x) + g(x)) = 3 + (-1) = 2 \neq 0 $$

ð PASO 3

Cociente.

$$\lim_{x \to 2} \frac{(2f(x) - g(x))^2}{f(x) + g(x)} = \frac{49}{2} $$

Conclusión: El límite vale $\frac{49}{2} $

ð Ejemplo 2: Sustitución directa en una función racional

Calcular $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x + 1} $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador no se anula en $x = 2 $

A continuación sustituiremos directamente, pues la función es continua en ese punto.

ð PASO 1

El denominador en $x = 2 $ vale $3 \neq 0 $: el punto está en el dominio y se puede sustituir.

ð PASO 2

Sustitución.

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x + 1} = \frac{2^3 - 2\cdot 2^2 + 1}{2 + 1} = \frac{8 - 8 + 1}{3} = \frac{1}{3} $$

Conclusión: El límite vale $\frac{1}{3} $

ð Ejemplo 3: Sustitución con radicales

Calcular $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} + x}{x - 4} $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que $x = 8 $ está en el dominio y no anula el denominador.

A continuación sustituiremos directamente.

ð PASO 1

El denominador en $x = 8 $ vale $4 \neq 0 $

ð PASO 2

Sustitución.

$$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} + x}{x - 4} = \frac{\sqrt[3]{8} + 8}{8 - 4} = \frac{2 + 8}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$

Conclusión: El límite vale $\frac{5}{2} $

ð Ejemplo 4: Composición de funciones continuas

Calcular $\lim_{x \to 2} \ln(x^2 - 3) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el interior del logaritmo es positivo en $x = 2 $

A continuación aplicaremos la continuidad de la composición.

ð PASO 1

El interior $x^2 - 3 $ es continuo y en $x = 2 $ vale $1 > 0 $, luego está en el dominio del logaritmo.

ð PASO 2

Sustitución.

$$\lim_{x \to 2} \ln(x^2 - 3) = \ln(2^2 - 3) = \ln 1 = 0 $$

Conclusión: El límite vale $0 $

ð Ejemplo 5: Hallar un parámetro con sustitución directa

Hallar $a $ para que $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax}{x + 2} = 3 $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que se puede sustituir directamente.

A continuación plantearemos la ecuación que resulta de la sustitución.

Para terminar despejaremos $a $

ð PASO 1

El denominador en $x = 2 $ vale $4 \neq 0 $, luego:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax}{x + 2} = \frac{4 + 2a}{4} $$

ð PASO 2

Igualamos al valor dado:

$$\frac{4 + 2a}{4} = 3 \rightarrow 4 + 2a = 12 \rightarrow 2a = 8 \rightarrow a = 4 $$

Conclusión: $a = 4 $