4.2.1 4.4 Distribuciones de probabilidad discretas

Variable aleatoria discreta y función de probabilidad

Una variable aleatoria discreta $X $ toma un número finito o infinito numerable de valores $x_1, x_2, \dots $, cada uno con una probabilidad $p_i = P(X = x_i) $

La función de probabilidad debe verificar dos condiciones: $p_i \ge 0 $ para todo $i $ y $\sum_i p_i = 1 $

📝 Ejemplo:

Sea $X $ el número de caras al lanzar dos monedas: toma los valores $0, 1, 2 $ con probabilidades $P(X = 0) = \frac{1}{4} $, $P(X = 1) = \frac{1}{2} $ y $P(X = 2) = \frac{1}{4} $

Como cada probabilidad es no negativa y $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 $, es una función de probabilidad válida.

Función de distribución

La función de distribución $F(x) = P(X \le x) $ acumula las probabilidades hasta el valor $x $:

$$F(x) = \sum_{x_i \le x} p_i $$

Es una función escalonada, no decreciente, con $F(x) \to 0 $ por la izquierda y $F(x) \to 1 $ por la derecha.

📝 Ejemplo:

Para la variable del número de caras en dos lanzamientos, $$F(1) = P(X \le 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$

La función salta en cada valor posible: en $x = 0 $ sube $\frac{1}{4} $, en $x = 1 $ sube $\frac{1}{2} $ y en $x = 2 $ sube $\frac{1}{4} $ hasta llegar a uno.

Esperanza y varianza

La esperanza o media $\mu = E(X) $ es el valor medio teórico:

$$E(X) = \sum_i x_i \cdot p_i $$

La varianza mide la dispersión respecto de la media:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_i x_i^2 \cdot p_i - \mu^2 $$

La desviación típica es $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} $

📝 Ejemplo:

El número de caras en dos lanzamientos tiene esperanza $$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 $$: en promedio sale una cara.

Su varianza es $$Var(X) = E(X^2) - 1^2 = \left(0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $$

📝 Ejemplo 1: Función de probabilidad del dado

Sea $X $ la puntuación al lanzar un dado.

Escribe su función de probabilidad y comprueba que es válida.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por listar los valores de la variable.

A continuación asignaremos sus probabilidades.

Para terminar comprobaremos las dos condiciones.

👉 PASO 1

Valores y probabilidades.

$X $ toma los valores $1, 2, 3, 4, 5, 6 $, cada uno con probabilidad:

$$p_i = P(X = x_i) = \frac{1}{6} \quad \text{para } i = 1, \dots, 6 $$

👉 PASO 2

Comprobación.

Cada $p_i = \frac{1}{6} \ge 0 $ y:

$$\sum_{i=1}^{6} p_i = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1 $$

✅ Conclusión

La función de probabilidad es válida.

📝 Ejemplo 2: Función de distribución del dado

Para la variable del ejemplo anterior calcula $F(3,5) $ y $P(2 < X \le 4) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por acumular las probabilidades hasta $3,5 $

A continuación usaremos la función de distribución para el intervalo.

👉 PASO 1

Cálculo de F en 3,5.

$$F(3,5) = P(X \le 3,5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

👉 PASO 2

Probabilidad del intervalo.

$$P(2 < X \le 4) = F(4) - F(2) = \frac{4}{6} - \frac{2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

✅ Conclusión

$F(3,5) = \frac{1}{2} $ y la probabilidad del intervalo es $\frac{1}{3} $

📝 Ejemplo 3: Media y varianza con tabla de probabilidades

Sea $X $ una variable que toma los valores $0, 1, 2, 3 $ con probabilidades $0,1 $, $0,3 $, $0,4 $ y $0,2 $ respectivamente.

Calcula $E(X) $ y $\text{Var}(X) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que las probabilidades suman uno.

A continuación calcularemos la esperanza.

Para terminar calcularemos la varianza con la fórmula abreviada.

👉 PASO 1

Comprobación.

$$0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1 $$

👉 PASO 2

Esperanza.

$$E(X) = 0 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,4 + 3 \cdot 0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7 $$

👉 PASO 3

Varianza.

$$E(X^2) = 0^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,3 + 2^2 \cdot 0,4 + 3^2 \cdot 0,2 = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7 $$

$$\text{Var}(X) = 3,7 - 1,7^2 = 3,7 - 2,89 = 0,81 $$

✅ Conclusión

$E(X) = 1,7 $, $\text{Var}(X) = 0,81 $ y $\sigma = 0,9 $

📝 Ejemplo 4: Esperanza y varianza del dado

Calcula la media y la varianza de la puntuación de un dado.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la esperanza.

A continuación calcularemos $E(X^2) $

Para terminar aplicaremos la fórmula de la varianza.

👉 PASO 1

Esperanza.

$$E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 $$

👉 PASO 2

Esperanza del cuadrado.

$$E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$

👉 PASO 3

Varianza.

$$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - 3,5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} $$

✅ Conclusión

$E(X) = 3,5 $ y $\text{Var}(X) = \frac{35}{12} $, aproximadamente $2,917 $

📝 Ejemplo 5: Determinación del parámetro k

Una variable $X $ toma los valores $1, 2, 3, 4 $ con probabilidades $k $, $2k $, $3k $ y $4k $

Halla $k $ y calcula $E(X) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer que la suma de probabilidades sea uno.

A continuación despejaremos $k $

Para terminar calcularemos la esperanza.

👉 PASO 1

Suma de probabilidades.

$$k + 2k + 3k + 4k = 10k = 1 $$

👉 PASO 2

Valor de k.

$$k = \frac{1}{10} = 0,1 $$

👉 PASO 3

Esperanza.

$$E(X) = 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,4 = 0,1 + 0,4 + 0,9 + 1,6 = 3 $$

✅ Conclusión

$k = 0,1 $ y $E(X) = 3 $