4.2.2 4.5 Distribuciones de probabilidad continuas

Función de densidad

Una variable aleatoria continua $X $ toma valores en un intervalo de la recta real.

Su comportamiento se describe mediante la función de densidad $f(x) $, que verifica: $f(x) \ge 0 $ para todo $x $ y $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 $

La probabilidad de un intervalo es el área bajo la curva de densidad:

$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$

En una variable continua, la probabilidad de un valor aislado es siempre cero: $P(X = a) = 0 $

📝 Ejemplo:

La función $f(x) = 1 $ en $[0, 1] $ y $f(x) = 0 $ fuera es una densidad válida: es no negativa y $\int_{0}^{1} 1 \, dx = 1 $

La probabilidad de caer en $[0{,}2; 0{,}7] $ es el área del rectángulo: $P(0{,}2 \le X \le 0{,}7) = 0{,}5 $

Función de distribución

La función de distribución $F(x) = P(X \le x) $ se obtiene integrando la densidad hasta $x $:

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $$

Es continua, no decreciente, tiende a $0 $ por la izquierda y a $1 $ por la derecha, y su derivada es la densidad: $F'(x) = f(x) $

Además $P(a < X \le b) = F(b) - F(a) $

📝 Ejemplo:

Para la densidad uniforme en $[0, 1] $, la función de distribución es $F(x) = 0 $ si $x < 0 $, $F(x) = x $ si $0 \le x \le 1 $ y $F(x) = 1 $ si $x > 1 $

Derivando se recupera la densidad: $F'(x) = 1 = f(x) $ en $(0, 1) $

Esperanza y varianza

Para una variable continua, la esperanza y la varianza se calculan con integrales:

$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx $$

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx - \mu^2 $$

📝 Ejemplo:

Para la uniforme en $[0, 1] $, $$E(X) = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} $$, el punto medio del intervalo.

Además $$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3} $$, luego $$Var(X) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} $$

📝 Ejemplo 1: Densidad triangular en el intervalo [0, 1]

Sea $f(x) = 2x $ si $0 \le x \le 1 $ y $f(x) = 0 $ en otro caso.

Comprueba que es función de densidad y calcula $P(X > 0,5) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar la no negatividad.

A continuación integraremos en todo el intervalo.

Para terminar calcularemos la probabilidad pedida.

👉 PASO 1

No negatividad.

En $[0, 1] $ se tiene $2x \ge 0 $, luego $f(x) \ge 0 $

👉 PASO 2

Integral total.

$$\int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[x^2\right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 $$

👉 PASO 3

Probabilidad pedida.

$$P(X > 0,5) = \int_{0,5}^{1} 2x \, dx = \left[x^2\right]_{0,5}^{1} = 1 - 0,25 = 0,75 $$

✅ Conclusión

Es una función de densidad válida y $P(X > 0,5) = 0,75 $

📝 Ejemplo 2: De la distribución a la densidad

Sea $F(x) = 0 $ si $x < 0 $, $F(x) = x^2 $ si $0 \le x \le 1 $ y $F(x) = 1 $ si $x > 1 $

Halla la función de densidad y calcula $P(0,25 < X < 0,75) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función de distribución.

A continuación aplicaremos la fórmula del intervalo.

👉 PASO 1

Densidad por derivación.

$$f(x) = F'(x) = 2x \quad \text{para } 0 < x < 1 $$

👉 PASO 2

Probabilidad del intervalo.

$$P(0,25 < X < 0,75) = F(0,75) - F(0,25) = 0,75^2 - 0,25^2 = 0,5625 - 0,0625 = 0,5 $$

✅ Conclusión

$f(x) = 2x $ en $(0, 1) $ y la probabilidad pedida es $0,5 $

📝 Ejemplo 3: Esperanza y varianza de la densidad triangular

Para la densidad $f(x) = 2x $ en $[0, 1] $ del ejemplo 1, calcula $E(X) $ y $\text{Var}(X) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la esperanza integrando.

A continuación calcularemos $E(X^2) $

Para terminar aplicaremos la fórmula de la varianza.

👉 PASO 1

Esperanza.

$$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \left[\frac{2x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} $$

👉 PASO 2

Esperanza del cuadrado.

$$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} $$

👉 PASO 3

Varianza.

$$\text{Var}(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18} $$

✅ Conclusión

$E(X) = \frac{2}{3} $ y $\text{Var}(X) = \frac{1}{18} $

📝 Ejemplo 4: Determinación del parámetro k

Sea $f(x) = kx $ si $0 \le x \le 2 $ y cero en otro caso.

Halla $k $ para que sea función de densidad y calcula $E(X) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer que la integral total sea uno.

A continuación despejaremos $k $

Para terminar calcularemos la esperanza.

👉 PASO 1

Integral total.

$$1 = \int_{0}^{2} kx \, dx = k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = k \cdot \frac{4}{2} = 2k $$

👉 PASO 2

Valor de k.

$$k = \frac{1}{2} $$

👉 PASO 3

Esperanza.

$$E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} $$

✅ Conclusión

$k = \frac{1}{2} $ y $E(X) = \frac{4}{3} $

📝 Ejemplo 5: Densidad cuadrática en [0, 1]

Sea $f(x) = 3x^2 $ si $0 \le x \le 1 $ y cero en otro caso.

Calcula $P(X > 0,5) $, $E(X) $ y $\text{Var}(X) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que la integral total es uno.

A continuación calcularemos la probabilidad y la esperanza.

Para terminar obtendremos la varianza.

👉 PASO 1

Comprobación.

$$\int_{0}^{1} 3x^2 \, dx = \left[x^3\right]_{0}^{1} = 1 $$

👉 PASO 2

Probabilidad y esperanza.

$$P(X > 0,5) = \int_{0,5}^{1} 3x^2 \, dx = \left[x^3\right]_{0,5}^{1} = 1 - 0,125 = 0,875 = \frac{7}{8} $$

$$E(X) = \int_{0}^{1} 3x^3 \, dx = \left[\frac{3x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{4} $$

👉 PASO 3

Varianza.

$$E(X^2) = \int_{0}^{1} 3x^4 \, dx = \left[\frac{3x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{5} $$

$$\text{Var}(X) = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{48 - 45}{80} = \frac{3}{80} $$

✅ Conclusión

$P(X > 0,5) = \frac{7}{8} $, $E(X) = \frac{3}{4} $ y $\text{Var}(X) = \frac{3}{80} $