4.2.6 4.9 Uso de la tabla de la normal estándar

📝 Ejemplo:

Con la tabla de $Z \sim N(0, 1) $ se lee directamente que $P(Z \le 1,96) = 0,9750 $

Por simetría, $P(Z \ge -1,96) = 0,9750 $

También se calculan probabilidades en intervalos: $P(0 < Z < 1) = 0,8413 - 0,5 = 0,3413 $

4.3.6 USO DE LA TABLA DE LA NORMAL ESTÁNDAR

Manejo riguroso de la tabla estadística N(0, 1), cálculo de probabilidades directas, inversas, cotas negativas e intervalos simétricos.

▶ Ver Lección Interactiva

La tabla de la distribución normal estándar tabula los valores de la función de distribución acumulada $\Phi(z) = P(Z \le z) $ para una variable $Z \sim N(0, 1) $ con pasos de centésimas (desde $0,00 $ hasta $3,99 $).

📝 Ejemplo:

La tabla nos dice que $\Phi(1{,}96) = 0{,}9750 $: el $97{,}5\% $ de la masa de la $N(0, 1) $ queda a la izquierda de $1{,}96 $

Reglas para usar la tabla

Cualquier cálculo probabilístico sobre $Z \sim N(0, 1) $ se descompone en una de las cuatro situaciones estándar:

• Probabilidad de cola izquierda con cota positiva ($z > 0 $): $P(Z \le z) = \Phi(z) $

• Probabilidad de cola derecha con cota positiva ($z > 0 $): $P(Z > z) = 1 - P(Z \le z) = 1 - \Phi(z) $

• Probabilidad con cota negativa (simetría de la campana): Como la campana es simétrica respecto al cero:

$$P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z) $$

$$P(Z > -z) = P(Z < z) = \Phi(z) $$

• Probabilidad comprendida en un intervalo $[a, b] $: $P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a) $

BÚSQUEDA INVERSA (CÁLCULO DE VALORES CRÍTICOS $Z_\alpha $)

Cuando el dato de entrada es la probabilidad $p $ y se busca la abscisa $z $ tal que $\Phi(z) = p $:

• Si $p > 0,5 $: Se busca el valor más próximo a $p $ en el cuerpo numérico interior de la tabla y se leen fila y columna.

• Si $p < 0,5 $: Por simetría, se busca $1 - p $ en la tabla, obteniendo el valor positivo $z' $, y la solución requerida es su opuesto simétrico: $z = -z' $

📝 Ejemplo: Concreto de Manejo de la Tabla Normal y Simetría:

$$ $$

Para una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1) $, calculemos la probabilidad $P(Z \le -1,24) $ y el intervalo bilateral $P(-1,24 \le Z \le 1,24) $:

$$P(Z \le -1,24) = 1 - P(Z \le 1,24) = 1 - 0,8925 = 0,1075 \quad (10,75\%) $$

$$P(-1,24 \le Z \le 1,24) = P(Z \le 1,24) - P(Z \le -1,24) = 0,8925 - 0,1075 = 0,7850 \quad (78,50\%) $$

📝 Ejemplo:

La probabilidad de la cola derecha en $z = 1 $ se obtiene como $$P(Z > 1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 $$

Ejemplos de uso de la tabla

📝 EJEMPLO: S CANÓNICOS DESARROLLADOS

📝 Ejemplo:

Un intervalo simétrico se calcula restando las dos colas: $$P(-1{,}5 < Z < 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664 $$

📝 Ejemplo 1: Cálculo de probabilidades en las cuatro regiones básicas

Utilizando la tabla de la normal estándar N(0, 1), calcula:

a) la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1,84;

b) la probabilidad de que Z sea mayor que 1,84;

c) la probabilidad de que Z sea menor que menos 1,84;

d) la probabilidad de que Z esté entre menos 1,84 y 1,

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por consultar en la tabla el valor de la función de distribución en 1,84, que es el dato común a los cuatro apartados.

A continuación calcularemos cada apartado usando las propiedades de la función de distribución y la simetría de la campana de Gauss:

para la cola derecha usaremos el suceso contrario, para la cola izquierda negativa la simetría respecto al origen, y para el intervalo simétrico restaremos las dos colas de la probabilidad total.

👉 PASO 1

Consulta del valor en la tabla.

Buscamos en la tabla de la normal estándar la fila 1,8 y la columna 0,04, que corresponden al valor 1,84:

$$\Phi(1,84) = 0,9671 $$

👉 PASO 2

Cálculo de los cuatro apartados.

a) La probabilidad acumulada hasta 1,84 se lee directamente en la tabla:

$$P(Z \leq 1,84) = \Phi(1,84) = 0,9671 $$

b) La cola derecha se obtiene por el suceso contrario, ya que la probabilidad total vale uno:

$$P(Z > 1,84) = 1 - \Phi(1,84) = 1 - 0,9671 = 0,0329 $$

c) Por la simetría de la campana de Gauss respecto al origen, la cola izquierda en menos 1,84 coincide con la cola derecha en 1,84:

$$P(Z < -1,84) = P(Z > 1,84) = 0,0329 $$

d) Para el intervalo simétrico restamos de la probabilidad total las dos colas, que son iguales:

$$P(-1,84 \leq Z \leq 1,84) = \Phi(1,84) - \Phi(-1,84) $$

Como por simetría $$\Phi(-1,84) = 1 - \Phi(1,84) = 1 - 0,9671 = 0,0329 $$, resulta:

$$P(-1,84 \leq Z \leq 1,84) = 0,9671 - 0,0329 = 0,9342 $$

Equivalentemente, duplicando la cola central: $2 \cdot 0,9671 - 1 = 0,9342 $

✅ Conclusión

Las cuatro probabilidades son a) $0,9671 $; b) $0,0329 $; c) $0,0329 $ y d) $0,9342 $

📝 Ejemplo 2: Valores críticos de la tabla por interpolación

Halla el valor de zeta sub alfa tal que la probabilidad de que Z sea menor o igual que zeta sub alfa valga 0,975, y el valor de zeta sub beta tal que la probabilidad de que Z sea menor o igual que zeta sub beta valga 0,

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por buscar en el interior de la tabla el valor 0,9750 para localizar el primer valor crítico, leyendo la fila y la columna correspondientes.

A continuación buscaremos el valor 0,9900, que no aparece exactamente en la tabla, por lo que interpolaremos linealmente entre los dos valores más próximos.

Para terminar expresaremos ambos valores críticos.

👉 PASO 1

Valor crítico para una probabilidad de 0,

Buscamos $0,9750 $ en el cuerpo de la tabla.

Lo encontramos exactamente en la intersección de la fila $1,9 $ y la columna $0,06 $, luego:

$$z_{\alpha} = 1,96 $$

👉 PASO 2

Valor crítico para una probabilidad de 0,

Buscamos $0,9900 $ en el cuerpo de la tabla.

Los valores más próximos están en la fila $2,3 $:

$$\Phi(2,32) = 0,9898 $$

$$\Phi(2,33) = 0,9901 $$

El valor $0,9900 $ está comprendido entre ambos, prácticamente en el punto medio del intervalo.

Por interpolación lineal:

$$z_{\beta} \approx 2,326 $$

que en la práctica habitual se redondea a $2,33 $

✅ Conclusión

Los valores críticos son $z_{\alpha} = 1,96 $ y $z_{\beta} \approx 2,33 $

📝 Ejemplo 3: Probabilidad de un intervalo asimétrico estrictamente negativo

Calcula la probabilidad de que Z esté comprendida entre menos 2,15 y menos 0,45, es decir, la probabilidad de que menos 2,15 sea menor o igual que Z y Z menor o igual que menos 0,

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la probabilidad del intervalo como la diferencia de la función de distribución evaluada en los extremos.

A continuación transformaremos cada término con cota negativa en una cota positiva usando la simetría de la campana, porque la tabla solo recoge valores no negativos.

Después consultaremos ambos valores en la tabla.

Para terminar restaremos los valores acumulados para obtener la probabilidad del intervalo.

👉 PASO 1

Diferencia de la función de distribución en los extremos.

La probabilidad de un intervalo es la función de distribución en el extremo superior menos la función de distribución en el extremo inferior:

$$P(-2,15 \leq Z \leq -0,45) = \Phi(-0,45) - \Phi(-2,15) $$

👉 PASO 2

Transformación de las cotas negativas por simetría.

Usamos la propiedad $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) $ para llevar cada término a una cota positiva que sí aparece en la tabla:

$$\Phi(-0,45) = 1 - \Phi(0,45) = 1 - 0,6736 = 0,3264 $$

$$\Phi(-2,15) = 1 - \Phi(2,15) = 1 - 0,9842 = 0,0158 $$

👉 PASO 3

Resta de los valores acumulados.

$$P(-2,15 \leq Z \leq -0,45) = 0,3264 - 0,0158 = 0,3106 $$

✅ Conclusión

La probabilidad pedida es $0,3106 $, es decir, aproximadamente un $31,06\% $

← 4.3.5 Distribución Gaussiana o Normal

Índice de Matemáticas II

4.3.7 Aproximación de la binomial por la normal →

📝 Ejemplo 4: Lectura inversa de la tabla de la normal estándar para valores críticos

Dada una variable aleatoria normal estándar $Z \sim N(0, 1) $, halla el valor del número real positivo $z_0 > 0 $ en los dos casos siguientes utilizando la tabla de la distribución normal:

a) $P(Z \le z_0) = 0,975 $

b) $P(-z_0 \le Z \le z_0) = 0,90 $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio realizaremos una lectura inversa de la tabla de la función de distribución acumulada de la normal estándar.

En el primer apartado buscaremos directamente la probabilidad 0,9750 en el cuerpo interior de la tabla para leer la fila y columna correspondientes.

En el segundo apartado transformaremos el intervalo simétrico mediante la fórmula 2*Phi(z) - 1 para obtener la probabilidad acumulada unilateral y localizar el valor crítico.

👉 PASO 1

Apartado a: — Lectura directa de probabilidad acumulada.

Queremos hallar $z_0 $ tal que:

$$\Phi(z_0) = P(Z \le z_0) = 0,9750 $$

Buscamos el valor $0,9750 $ en el interior de la tabla de la normal:

Se encuentra exactamente en la fila correspondiente a $1,9 $ y en la columna de $0,06 $

Por tanto:

$$z_0 = 1,9 + 0,06 = 1,96 $$

👉 PASO 2

Apartado b: — Intervalo simétrico de probabilidad del 90%.

La probabilidad en un intervalo simétrico alrededor del cero viene dada por:

$$P(-z_0 \le Z \le z_0) = \Phi(z_0) - \Phi(-z_0) = \Phi(z_0) - (1 - \Phi(z_0)) = 2\Phi(z_0) - 1 $$

Igualamos a $0,90 $:

$$2\Phi(z_0) - 1 = 0,90 \implies 2\Phi(z_0) = 1,90 \implies \Phi(z_0) = \frac{1,90}{2} = 0,9500 $$

Buscamos $0,9500 $ en el interior de la tabla:

Para $z = 1,64 \implies \Phi(1,64) = 0,9495 $

Para $z = 1,65 \implies \Phi(1,65) = 0,9505 $

Como el valor $0,9500 $ está exactamente a mitad de camino entre ambos, interpolamos linealmente:

$$z_0 = \frac{1,64 + 1,65}{2} = 1,645 $$

✅ Conclusión

Los valores críticos buscados son $z_0 = 1,96 $ para el percentil del 97,5% y $z_0 \approx 1,645 $ para el intervalo central de confianza del 90%.

📝 Ejemplo 5: Aproximación de la binomial por la normal con corrección de Yates

Se lanza una moneda equilibrada 100 veces consecutivas.

Calcula la probabilidad de obtener entre 45 y 55 caras (ambos inclusive) aplicando el teorema de De Moivre-Laplace con corrección por continuidad de Yates.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio aproximaremos la distribución binomial por una normal continua, verificando previamente los criterios de validez de la aproximación.

Aplicaremos la corrección por continuidad de Yates ampliando los extremos en 0,5 unidades para transformar el intervalo discreto en continuo.

A continuación tipificaremos y utilizaremos la tabla de la normal estándar.

👉 PASO 1

Modelo binomial y comprobación de aproximación normal.

Sea $X $ = "número de caras en 100 lanzamientos".

$$X \sim B(100; 0,5) $$

Media: $\mu = n p = 100 \cdot 0,5 = 50 $

Varianza: $$\sigma^2 = n p q = 100 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 25 $$

Desviación típica: $\sigma = \sqrt{25} = 5 $

Comprobación de condiciones:

$$n p = 50 \ge 5 \quad \text{y} \quad n q = 50 \ge 5 $$

Se cumplen holgadamente los criterios, por lo que la binomial se aproxima por la normal:

$$X \approx Y \sim N(50, 5) $$

👉 PASO 2

Corrección por continuidad de Yates.

El intervalo discreto inclusivo es $45 \le X \le 55 $

Para abarcar completamente las barras de los rectángulos enteros correspondientes a 45 y 55 en la variable continua, restamos 0,5 al extremo inferior y sumamos 0,5 al extremo superior:

$$P(45 \le X \le 55) \approx P(44,5 \le Y \le 55,5) $$

👉 PASO 3

Tipificación del intervalo.

$$z_1 = \frac{44,5 - 50}{5} = \frac{-5,5}{5} = -1,10 $$

$$z_2 = \frac{55,5 - 50}{5} = \frac{5,5}{5} = 1,10 $$

Por tanto:

$$P(44,5 \le Y \le 55,5) = P(-1,10 \le Z \le 1,10) $$

👉 PASO 4

Uso de la tabla normal.

Por simetría:

$$P(-1,10 \le Z \le 1,10) = 2\Phi(1,10) - 1 $$

Buscando en la tabla de la normal estándar: $\Phi(1,10) = 0,8643 $

$$P(-1,10 \le Z \le 1,10) = 2(0,8643) - 1 = 1,7286 - 1 = 0,7286 = 72,86\% $$

✅ Conclusión

Mediante la aproximación normal con corrección de Yates, la probabilidad de obtener entre 45 y 55 caras al lanzar 100 veces una moneda es del $72,86\% $ ($P \approx 0,7286 $).