4.2.7 4.10 Aproximación de la binomial por la normal

Condiciones de la aproximación

Cuando el número de ensayos $n $ es grande, la distribución binomial $B(n, p) $ se aproxima mediante una normal con la misma media y la misma desviación típica:

$$X \sim B(n, p) \approx Y \sim N(n \cdot p, \sqrt{n \cdot p \cdot q}) $$

La aproximación es fiable cuando $n \cdot p \ge 5 $ y $n \cdot q \ge 5 $

📝 Ejemplo:

Para $X \sim B(50; 0{,}2) $ se cumple $np = 10 \ge 5 $ y $nq = 40 \ge 5 $, luego la aproximación normal $N(10, \sqrt{8}) $ es fiable.

Corrección por continuidad

La binomial es discreta y la normal continua: cada valor entero $k $ de la binomial se corresponde con el intervalo $(k - 0,5; k + 0,5) $ de la normal.

Por eso se aplica la corrección por continuidad:

$$P(X = k) \approx P(k - 0,5 < Y < k + 0,5) $$

$$P(X \le k) \approx P(Y < k + 0,5) $$

$$P(X \ge k) \approx P(Y > k - 0,5) $$

📝 Ejemplo:

Con $X \sim B(100; 0{,}5) $, la probabilidad de obtener como máximo $45 $ caras se aproxima como $P(X \le 45) \approx P(Y < 45{,}5) $, desplazando el límite media unidad hacia arriba.

Tipificación en la aproximación

Una vez aplicada la corrección por continuidad, se tipifica con los parámetros $\mu = n \cdot p $ y $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} $ de la normal aproximante y se usa la tabla estándar.

📝 Ejemplo:

Si $X \sim B(400; 0{,}5) $, entonces $$P(X \ge 220) \approx P\left(Z \ge \frac{219,5 - 200}{10}\right) = P(Z \ge 1{,}95) = 1 - 0{,}9744 = 0{,}0256 $$

📝 Ejemplo 1: Comprobación de las condiciones

Comprueba si es aplicable la aproximación normal a $X \sim B(100, 0,5) $ y escribe la normal aproximante.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por verificar las dos condiciones.

A continuación calcularemos los parámetros de la normal.

👉 PASO 1

Condiciones.

$$n \cdot p = 100 \cdot 0,5 = 50 \ge 5 $$

$$n \cdot q = 100 \cdot 0,5 = 50 \ge 5 $$

👉 PASO 2

Normal aproximante.

$\mu = 50 $ y $$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{25} = 5 $$

$$X \approx Y \sim N(50, 5) $$

✅ Conclusión

La aproximación es aplicable con $Y \sim N(50, 5) $

📝 Ejemplo 2: Probabilidad puntual con corrección

Con $X \sim B(100, 0,5) $ aproxima $P(X = 50) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la normal aproximante.

A continuación aplicaremos la corrección por continuidad.

Para terminar tipificaremos y usaremos la tabla.

👉 PASO 1

Normal aproximante.

$$Y \sim N(50, 5) $$

👉 PASO 2

Corrección por continuidad.

$$P(X = 50) \approx P(49,5 < Y < 50,5) $$

👉 PASO 3

Tipificación.

$$z_1 = \frac{49,5 - 50}{5} = -0,1 $$

$$z_2 = \frac{50,5 - 50}{5} = 0,1 $$

$$P(-0,1 < Z < 0,1) = \Phi(0,1) - \Phi(-0,1) = 2 \cdot 0,5398 - 1 = 0,0796 $$

✅ Conclusión

$$P(X = 50) \approx 0,0796 $$

📝 Ejemplo 3: Al menos 220 caras en 400 lanzamientos

Se lanza una moneda cuatrocientas veces.

Aproxima la probabilidad de obtener al menos doscientas veinte caras.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la binomial y comprobar las condiciones.

A continuación aplicaremos la corrección por continuidad.

Para terminar tipificaremos y usaremos la tabla.

👉 PASO 1

Binomial y condiciones.

$$X \sim B(400, 0,5) ,\ \text{con}\ n \cdot p = 200 \ge 5 $$ y $n \cdot q = 200 \ge 5 $

$\mu = 200 $ y $$\sigma = \sqrt{400 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{100} = 10 $$

👉 PASO 2

Corrección por continuidad.

$$P(X \ge 220) \approx P(Y > 219,5) $$

👉 PASO 3

Tipificación y tabla.

$$z = \frac{219,5 - 200}{10} = 1,95 $$

$$P(Z > 1,95) = 1 - \Phi(1,95) = 1 - 0,9744 = 0,0256 $$

✅ Conclusión

$$P(X \ge 220) \approx 0,0256 $$

📝 Ejemplo 4: Al menos 40 doses en 180 lanzamientos

Se lanza un dado ciento ochenta veces.

Aproxima la probabilidad de obtener al menos cuarenta doses.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la binomial y sus parámetros.

A continuación aplicaremos la corrección por continuidad.

Para terminar tipificaremos.

👉 PASO 1

Parámetros.

$$X \sim B\left(180, \frac{1}{6}\right) ,\ \text{con}\ n \cdot p = 30 \ge 5 $$ y $n \cdot q = 150 \ge 5 $

$\mu = 30 $ y $$\sigma = \sqrt{180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{25} = 5 $$

👉 PASO 2

Corrección por continuidad.

$$P(X \ge 40) \approx P(Y > 39,5) $$

👉 PASO 3

Tipificación y tabla.

$$z = \frac{39,5 - 30}{5} = 1,9 $$

$$P(Z > 1,9) = 1 - \Phi(1,9) = 1 - 0,9713 = 0,0287 $$

✅ Conclusión

$$P(X \ge 40) \approx 0,0287 $$

📝 Ejemplo 5: Como máximo 25 éxitos

Sea $X \sim B(100, 0,3) $

Aproxima $P(X \le 25) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los parámetros de la normal.

A continuación aplicaremos la corrección por continuidad.

Para terminar tipificaremos y usaremos la simetría.

👉 PASO 1

Parámetros.

$$\mu = 100 \cdot 0,3 = 30 $$

$$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0,3 \cdot 0,7} = \sqrt{21} = 4,5826 $$

Se cumplen $n \cdot p = 30 \ge 5 $ y $n \cdot q = 70 \ge 5 $

👉 PASO 2

Corrección por continuidad.

$$P(X \le 25) \approx P(Y < 25,5) $$

👉 PASO 3

Tipificación.

$$z = \frac{25,5 - 30}{4,5826} = -0,98 $$

$$P(Z < -0,98) = 1 - \Phi(0,98) = 1 - 0,8365 = 0,1635 $$

✅ Conclusión

$$P(X \le 25) \approx 0,1635 $$