2.4 2.4 La varianza y la desviación típica
2.4 La Varianza Y La Desviación Típica
Para el dado, $$CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{1,71}{3,5} \approx 0,49 $$: la dispersión típica representa un \(49 \) por ciento de la media.
Este número sin unidades permite comparar la dispersión relativa del dado con la de cualquier otra variable.
La necesidad de medir la dispersión
En esta sección mediremos la dispersión: al lanzar un dado, \(E(X^2) = \frac{91}{6} \) y \((E[X])^2 = \frac{49}{4} \), luego $$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2,92 $$ y \(\sigma \approx 1,71 \)
Dos variables pueden tener la misma esperanza y ser muy distintas.
Por ejemplo, una variable que toma los valores cero y diez con probabilidad un medio cada uno tiene esperanza cinco, y otra que toma los valores cuatro y seis con probabilidad un medio cada uno también tiene esperanza cinco.
Sin embargo, la primera está mucho más dispersa que la segunda.
Para cuantificar esa dispersión se introduce la varianza.
Definición de varianza
La variable que toma \(0 \) y \(10 \) con probabilidad \(\frac{1}{2} \) cada uno tiene esperanza \(5 \), igual que la que toma \(4 \) y \(6 \) con probabilidad \(\frac{1}{2} \)
La primera está mucho más dispersa: sus valores se alejan \(5 \) unidades de la media, frente a solo \(1 \) unidad en la segunda.
Sea \(X \) una variable aleatoria con esperanza \(\mu = E(X) \)
La varianza de \(X \) se define como la esperanza del cuadrado de la desviación respecto a la media:
Al elevar al cuadrado, las desviaciones positivas y negativas no se cancelan y las desviaciones grandes pesan más que las pequeñas.
La varianza siempre es mayor o igual que cero, y solo vale cero cuando la variable es constante.
Fórmula de Steiner y su demostración
Al lanzar un dado, con \(\mu = 3,5 \), la varianza es \(\text{Var}(X) = E[(X - 3,5)^2] \): se promedian los cuadrados de las desviaciones \((1 - 3,5)^2, \dots, (6 - 3,5)^2 \), cada uno con probabilidad \(\frac{1}{6} \)
Para el cálculo práctico se usa la fórmula de Steiner: \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E[X])^2 \), es decir, la varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.
La demostración consiste en desarrollar el cuadrado dentro de la esperanza:
La desviación típica
Para el dado, la fórmula de Steiner evita desarrollar el cuadrado: $$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2,92 $$: la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.
La varianza se mide en las unidades de la variable al cuadrado, lo que dificulta su interpretación.
Por eso se define la desviación típica como su raíz cuadrada: \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \)
La desviación típica se mide en las mismas unidades que la variable original y representa una distancia típica de los valores respecto a la media.
Propiedades de la varianza
La varianza del dado es \(\frac{35}{12} \) puntos al cuadrado, una unidad difícil de interpretar.
Su raíz cuadrada, \(\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1,71 \) puntos, sí se mide en puntos: una tirada típica se desvía de la media unos \(1,71 \) puntos.
La varianza de una constante es cero: \(\text{Var}(c) = 0 \)
Sumar una constante no cambia la dispersión: \(\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X) \)
Al multiplicar por una constante, la varianza se multiplica por el cuadrado de la constante: \(\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X) \)
En general, para una transformación lineal: \(\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X) \), y para la desviación típica: \(\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X) \)
El coeficiente de variación
Si \(X \) es la puntuación del dado, con \(\text{Var}(X) = \frac{35}{12} \), entonces $$\text{Var}(2X + 3) = 2^2 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx 11,67 $$: el desplazamiento \(+3 \) no cambia la dispersión y el factor \(2 \) la multiplica por cuatro.
Para comparar la dispersión relativa de variables con medias distintas se usa el coeficiente de variación: \(CV = \frac{\sigma}{\mu} \), válido cuando la media es distinta de cero.
Es un número sin unidades que expresa la dispersión como proporción de la media.
Sea \(X \) la variable que mide los puntos de un dado equilibrado.
Sabemos que \(E(X) = \frac{7}{2} \) y que \(E(X^2) = \frac{91}{6} \)
Calcula la varianza y la desviación típica.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de Steiner con los valores conocidos.
A continuación operaremos las fracciones con denominador común.
Para terminar calcularemos la desviación típica como raíz cuadrada de la varianza.
Aplicación de la fórmula de Steiner.
Operación con las fracciones.
Reducimos a denominador común doce: noventa y uno partido por seis es ciento ochenta y dos partido por doce, y cuarenta y nueve cuartos es ciento cuarenta y siete partido por doce.
Por tanto:
Desviación típica.
Los puntos del dado tienen una dispersión típica de aproximadamente uno coma setenta y uno puntos alrededor de la media tres coma cinco.
Una variable discreta toma los valores menos uno, cero y dos con probabilidades cero coma tres, cero coma cuatro y cero coma tres.
Sabemos que \(E(X) = 0,3 \) y que \(E(X^2) = 1,5 \)
Calcula la varianza, la desviación típica y la varianza de \(Y = 2X + 5 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de Steiner para obtener la varianza.
A continuación calcularemos la desviación típica.
Para terminar usaremos la propiedad de la varianza ante transformaciones lineales.
Cálculo de la varianza con la fórmula de Steiner.
Desviación típica.
Varianza de la transformación lineal.
Aplicamos la propiedad de la varianza:
Obsérvese que el término constante cinco no afecta a la varianza, mientras que el factor dos multiplica la varianza por cuatro.
La varianza de la transformación lineal es cinco coma sesenta y cuatro: el cambio de origen no la altera y el factor dos la multiplica por cuatro.
Sea \(X \) una variable uniforme en el intervalo entre cero y dos.
Sabemos que \(E(X) = 1 \)
Calcula su varianza y su desviación típica.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la esperanza del cuadrado mediante la integral correspondiente.
A continuación aplicaremos la fórmula de Steiner.
Para terminar obtendremos la desviación típica.
Cálculo de la esperanza del cuadrado.
Aplicación de la fórmula de Steiner.