2.5 2.5 Cambios de origen y escala tipificación
2.5 Cambios De Origen Y Escala Tipificación
Para el dado, con \(\mu = 3,5 \) y \(\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1,71 \), la tipificada \(Z = \frac{X - 3,5}{1,71} \) verifica \(E(Z) = \frac{3,5 - 3,5}{1,71} = 0 \) y \(\text{Var}(Z) = \frac{35/12}{1,71^2} = 1 \)
Cambio de origen
En esta sección veremos cómo trasladar y reescalar variables:
si \(X \) es una temperatura en grados con media \(20 \) y desviación típica \(5 \), la variable tipificada \(Z = \frac{X - 20}{5} \) tiene media \(0 \) y varianza \(1 \), sin unidades.
Un cambio de origen consiste en restar una constante a la variable: \(Y = X - a \)
Es como trasladar el cero de la escala de medida.
Su efecto sobre la esperanza es \(E(Y) = E(X) - a \), es decir, la media se traslada la misma cantidad.
Su efecto sobre la varianza es nulo: \(\text{Var}(Y) = \text{Var}(X) \), porque trasladar todos los valores no cambia las distancias entre ellos ni respecto a la media.
Cambio de escala
Si \(X \) es la puntuación del dado, con \(E(X) = 3,5 \) y \(\text{Var}(X) = \frac{35}{12} \), el cambio de origen \(Y = X - 3,5 \) centra la media en \(E(Y) = 0 \) sin alterar la dispersión: \(\text{Var}(Y) = \frac{35}{12} \)
Un cambio de escala consiste en multiplicar la variable por una constante: \(Y = b \cdot X \)
Es lo que ocurre al cambiar la unidad de medida, por ejemplo de metros a centímetros.
Su efecto sobre la esperanza es \(E(Y) = b \cdot E(X) \)
Su efecto sobre la varianza es \(\text{Var}(Y) = b^2 \cdot \text{Var}(X) \), y sobre la desviación típica \(\sigma(Y) = |b| \cdot \sigma(X) \)
Transformación lineal general
Si \(X \) mide una longitud en metros con \(E(X) = 1,7 \) y \(\sigma(X) = 0,1 \), al pasar a centímetros \(Y = 100 \cdot X \) se obtiene \(E(Y) = 170 \) y \(\sigma(Y) = 100 \cdot 0,1 = 10 \), mientras que \(\text{Var}(Y) = 100^2 \cdot 0,01 = 100 \)
Combinando ambos cambios se obtiene la transformación lineal \(Y = a + bX \), para la que \(E(Y) = a + b \cdot E(X) \) y \(\text{Var}(Y) = b^2 \cdot \text{Var}(X) \)
El término \(a \) solo traslada la media, mientras que el factor \(b \) escala tanto la media como la dispersión.
Tipificación de una variable aleatoria
Con el dado, la transformación \(Y = 2 + 5X \) combina ambos efectos: \(E(Y) = 2 + 5 \cdot 3,5 = 19,5 \) y $$\text{Var}(Y) = 5^2 \cdot \frac{35}{12} = \frac{875}{12} \approx 72,92 $$: el \(2 \) solo traslada la media y el \(5 \) escala media y dispersión.
La tipificación es el cambio de origen y escala que centra la variable en su media y la escala con su desviación típica.
Dada \(X \) con media \(\mu \) y desviación típica \(\sigma \), se define la variable tipificada como \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \)
Vamos a comprobar sus dos propiedades fundamentales.
Para la esperanza:
Para la varianza:
Por tanto, toda variable tipificada tiene media cero y varianza uno.
El valor tipificado \(z \) indica a cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media se encuentra el valor original: es una medida adimensional que permite comparar valores procedentes de distribuciones distintas.
Sea \(X \) la temperatura en grados Celsius, con media \(E(X) = 20 \) y varianza \(\text{Var}(X) = 25 \)
La temperatura en grados Fahrenheit es \(Y = 32 + 1,8 X \)
Calcula la media, la varianza y la desviación típica de \(Y \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar el cambio de origen y el cambio de escala en la fórmula de conversión.
A continuación aplicaremos las propiedades de la esperanza y la varianza para transformaciones lineales.
Para terminar obtendremos la desviación típica.
Identificación de la transformación.
La fórmula \(Y = 32 + 1,8 X \) combina un cambio de origen, sumar treinta y dos, con un cambio de escala, multiplicar por uno coma ocho.
Media de la temperatura en Fahrenheit.
Varianza y desviación típica.
El cambio de origen no afecta a la varianza; solo el factor de escala, elevado al cuadrado:
Conclusión:
En grados Fahrenheit la media es sesenta y ocho y la desviación típica es nueve.
Sea \(X \) la puntuación de un examen con media \(\mu = 50 \) y desviación típica \(\sigma = 8 \)
Un estudiante obtuvo \(x = 62 \) puntos.
Calcula su puntuación tipificada e interpreta el resultado.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de tipificación al valor observado.
A continuación interpretaremos el valor tipificado como número de desviaciones típicas respecto a la media.
Para terminar recordaremos las propiedades de la variable tipificada.
Cálculo de la puntuación tipificada.
Interpretación.
El valor uno coma cinco indica que la puntuación del estudiante está una coma cinco desviaciones típicas por encima de la media.
Al ser una cantidad sin unidades, este uno coma cinco se puede comparar directamente con la puntuación tipificada del mismo estudiante en otro examen con distinta media y distinta desviación típica.
Conclusión:
Si tipificáramos todas las puntuaciones del examen, la nueva variable \(Z \) tendría media cero y varianza uno, como demostramos en la teoría, independientemente de cuáles fueran la media y la varianza originales.
Considera la variable discreta de la sección anterior, con valores menos uno, cero y dos, probabilidades cero coma tres, cero coma cuatro y cero coma tres, media \(\mu = 0,3 \), varianza \(1,41 \) y desviación típica \(\sigma \approx 1,1874 \)
Define su variable tipificada y comprueba que tiene media cero y varianza uno.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la variable tipificada con los valores numéricos conocidos.
A continuación calcularemos su esperanza aplicando la linealidad.
Para terminar calcularemos su varianza con la propiedad del cambio de escala.
Variable tipificada.
Comprobación de la media.
Comprobación de la varianza.
Conclusión:
Se confirma que la variable tipificada tiene media cero y varianza uno.