3.3 3.3 Distribuciones marginales

Qué es la distribución marginal

A partir de la distribución conjunta puede interesar estudiar cada variable por separado, ignorando la otra: esas distribuciones se llaman marginales.

La distribución marginal de $X $ describe cómo se reparten los individuos entre los valores $X_1, \dots, X_k $, sin tener en cuenta qué valor de $Y $ presenta cada uno.

Análogamente, la distribución marginal de $Y $ describe el reparto entre los valores $Y_1, \dots, Y_m $, ignorando $X $

Las distribuciones marginales se obtienen directamente de la tabla de contingencia sumando filas o columnas.

ð Ejemplo:

De la tabla conjunta de estudios y tabaquismo puede interesar solo cuántas personas hay en cada nivel de estudios, sin importar si fuman: esa distribución unidimensional es la marginal de $X $

Las distribuciones marginales de X y de Y

Para obtener la marginal de $X $ fijamos cada fila y sumamos las frecuencias conjuntas de todas las columnas:

$n_{i.} = \sum_{j=1}^{m} n_{ij} $, para $i = 1, \dots, k $

La frecuencia $n_{i.} $ es el número de individuos con $X = X_i $, sea cual sea su valor de $Y $

La tabla de la marginal de $X $ tiene una fila por cada valor $X_i $ con su frecuencia $n_{i.} $, y se cumple $\sum_{i=1}^{k} n_{i.} = n $

Para obtener la marginal de $Y $ fijamos cada columna y sumamos las frecuencias conjuntas de todas las filas:

$n_{.j} = \sum_{i=1}^{k} n_{ij} $, para $j = 1, \dots, m $

La frecuencia $n_{.j} $ es el número de individuos con $Y = Y_j $, sea cual sea su valor de $X $

La tabla de la marginal de $Y $ tiene una fila por cada valor $Y_j $ con su frecuencia $n_{.j} $, y se cumple $\sum_{j=1}^{m} n_{.j} = n $

ð Ejemplo:

Enunciado: Clasificamos $40 $ alumnos según el sexo, $X $ con valores $X_1 $ chico y $X_2 $ chica, y el deporte practicado, $Y $ con valores $Y_1 $ fútbol, $Y_2 $ baloncesto e $Y_3 $ tenis.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{fútbol} & \text{baloncesto} & \text{tenis} \\ \hline \text{chico} & 10 & 5 & 3 \\ \hline \text{chica} & 4 & 8 & 10 \\ \hline \end{array} $$

Halla las distribuciones marginales de $X $ y de $Y $

Solución:

La marginal de $X $ se obtiene sumando por filas:

$$n_{1.} = 10 + 5 + 3 = 18 $$

$$n_{2.} = 4 + 8 + 10 = 22 $$

Comprobación: $18 + 22 = 40 $

La marginal de $Y $ se obtiene sumando por columnas:

$$n_{.1} = 10 + 4 = 14 $$

$$n_{.2} = 5 + 8 = 13 $$

$$n_{.3} = 3 + 10 = 13 $$

Comprobación: $14 + 13 + 13 = 40 $

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{fútbol} & \text{baloncesto} & \text{tenis} & n_{i.} \\ \hline \text{chico} & 10 & 5 & 3 & 18 \\ \hline \text{chica} & 4 & 8 & 10 & 22 \\ \hline n_{.j} & 14 & 13 & 13 & 40 \\ \hline \end{array} $$

Las frecuencias relativas marginales

Dividiendo entre el total se obtienen las frecuencias relativas marginales:

$f_{i.} = \frac{n_{i.}}{n} $ es la proporción de individuos con $X = X_i $

$f_{.j} = \frac{n_{.j}}{n} $ es la proporción de individuos con $Y = Y_j $

Ambas suman uno: $\sum_{i=1}^{k} f_{i.} = 1 $ y $\sum_{j=1}^{m} f_{.j} = 1 $

ð Ejemplo:

Enunciado: Clasificamos $24 $ hogares según la zona, $X $ con $X_1 $ centro y $X_2 $ periferia, y el tamaño del hogar, $Y $ con $Y_1 $ pequeño, $Y_2 $ mediano e $Y_3 $ grande.

Las distribuciones marginales absolutas ya calculadas son:

para $X $, $n_{1.} = 10 $ y $n_{2.} = 14 $;

para $Y $, $n_{.1} = 8 $, $n_{.2} = 11 $ y $n_{.3} = 5 $

Halla las distribuciones marginales en frecuencias relativas e interprétalas.

Solución:

Dividimos cada frecuencia absoluta marginal entre el total $n = 24 $

Para $X $:

$$f_{1.} = \frac{10}{24} \approx 0,417 $$

$$f_{2.} = \frac{14}{24} \approx 0,583 $$

Comprobación: $0,417 + 0,583 = 1 $

Para $Y $:

$$f_{.1} = \frac{8}{24} \approx 0,333 $$

$$f_{.2} = \frac{11}{24} \approx 0,458 $$

$$f_{.3} = \frac{5}{24} \approx 0,208 $$

Comprobación: $0,333 + 0,458 + 0,208 = 1 $ (salvo redondeo).

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total $n = 24 $

Las frecuencias conjuntas absolutas son $n_{11} = 5 $, $n_{12} = 4 $, $n_{13} = 1 $, $n_{21} = 3 $, $n_{22} = 7 $ y $n_{23} = 4 $

$$f_{11} = \frac{5}{24} \approx 0,208 $$

$$f_{12} = \frac{4}{24} \approx 0,167 $$

$$f_{13} = \frac{1}{24} \approx 0,042 $$

$$f_{21} = \frac{3}{24} = 0,125 $$

$$f_{22} = \frac{7}{24} \approx 0,292 $$

$$f_{23} = \frac{4}{24} \approx 0,167 $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{pequeño} & \text{mediano} & \text{grande} & f_{i.} \\ \hline \text{centro} & 0,208 & 0,167 & 0,042 & 0,417 \\ \hline \text{periferia} & 0,125 & 0,292 & 0,167 & 0,583 \\ \hline f_{.j} & 0,333 & 0,458 & 0,208 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Interpretación: el $41,7 $ % de los hogares está en el centro y el $20,8 $ % son hogares grandes.

ð Ejemplo 1:

Partimos de la tabla de frecuencias conjuntas del Ejemplo 1 de la sección 3.1: $30 $ familias clasificadas por número de hijos, $X $ con valores $X_1 = 1, X_2 = 2, X_3 = 3 $, y número de coches, $Y $ con valores $Y_1 = 0, Y_2 = 1, Y_3 = 2 $

a) Calcula la distribución marginal de $X $ con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de $Y $ con frecuencias absolutas y relativas.

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por recuperar la tabla de frecuencias conjuntas del Ejemplo 1 de la sección 3.

A continuación obtendremos la marginal de $X $ sumando por filas, con sus frecuencias absolutas $n_{i.} $ y relativas $f_{i.} $

Para terminar obtendremos la marginal de $Y $ sumando por columnas, también con frecuencias absolutas $n_{.j} $ y relativas $f_{.j} $, y comprobaremos que ambas suman el total.

ð PASO 1

La tabla conjunta de partida.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & Y_1 = 0 & Y_2 = 1 & Y_3 = 2 \\ \hline X_1 = 1 & 2 & 6 & 4 \\ \hline X_2 = 2 & 3 & 5 & 4 \\ \hline X_3 = 3 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

ð PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 2 + 6 + 4 = 12 $$

$$n_{2.} = 3 + 5 + 4 = 12 $$

$$n_{3.} = 3 + 2 + 1 = 6 $$

Comprobación: $12 + 12 + 6 = 30 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{12}{30} = 0,4 $$

$$f_{2.} = \frac{12}{30} = 0,4 $$

$$f_{3.} = \frac{6}{30} = 0,2 $$

Comprobación: $0,4 + 0,4 + 0,2 = 1 $

ð PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 2 + 3 + 3 = 8 $$

$$n_{.2} = 6 + 5 + 2 = 13 $$

$$n_{.3} = 4 + 4 + 1 = 9 $$

Comprobación: $8 + 13 + 9 = 30 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{8}{30} \approx 0,267 $$

$$f_{.2} = \frac{13}{30} \approx 0,433 $$

$$f_{.3} = \frac{9}{30} = 0,3 $$

Comprobación: $0,267 + 0,433 + 0,3 = 1 $

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & Y_1 = 0 & Y_2 = 1 & Y_3 = 2 & n_{i.} \\ \hline X_1 = 1 & 2 & 6 & 4 & 12 \\ \hline X_2 = 2 & 3 & 5 & 4 & 12 \\ \hline X_3 = 3 & 3 & 2 & 1 & 6 \\ \hline n_{.j} & 8 & 13 & 9 & 30 \\ \hline \end{array} $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total $n = 30 $:

$$f_{11} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$

$$f_{12} = \frac{6}{30} = 0,2 $$

$$f_{13} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$

$$f_{21} = \frac{3}{30} = 0,1 $$

$$f_{22} = \frac{5}{30} \approx 0,167 $$

$$f_{23} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$

$$f_{31} = \frac{3}{30} = 0,1 $$

$$f_{32} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$

$$f_{33} = \frac{1}{30} \approx 0,033 $$

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & Y_1 = 0 & Y_2 = 1 & Y_3 = 2 & f_{i.} \\ \hline X_1 = 1 & 0,067 & 0,2 & 0,133 & 0,4 \\ \hline X_2 = 2 & 0,1 & 0,167 & 0,133 & 0,4 \\ \hline X_3 = 3 & 0,1 & 0,067 & 0,033 & 0,2 \\ \hline f_{.j} & 0,267 & 0,433 & 0,3 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:

La distribución marginal de $X $, el número de hijos, es: $12 $ familias con $1 $ hijo, $12 $ con $2 $ hijos y $6 $ con $3 $ hijos; en proporciones, $0,4 $, $0,4 $ y $0,2 $

La distribución marginal de $Y $, el número de coches, es: $8 $ familias sin coche, $13 $ con $1 $ coche y $9 $ con $2 $ coches; en proporciones, $0,267 $, $0,433 $ y $0,3 $

Ambas marginales suman el total $n = 30 $ en frecuencias absolutas y $1 $ en frecuencias relativas, como exige la teoría.

ð Ejemplo 2:

Enunciado: Se clasifican $28 $ deportistas según el sexo, $X $ con valores $X_1 $ = hombre y $X_2 $ = mujer, y el deporte practicado, $Y $ con valores $Y_1 $ = fútbol, $Y_2 $ = baloncesto y $Y_3 $ = tenis.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{fútbol} & \text{baloncesto} & \text{tenis} \\ \hline \text{hombre} & 8 & 4 & 2 \\ \hline \text{mujer} & 3 & 6 & 5 \\ \hline \end{array} $$

a) Calcula la distribución marginal de $X $ con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de $Y $ con frecuencias absolutas y relativas.

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por presentar la tabla de frecuencias conjuntas.

A continuación obtendremos la marginal de $X $ sumando por filas, con frecuencias absolutas y relativas.

Para terminar obtendremos la marginal de $Y $ sumando por columnas, también con frecuencias absolutas y relativas, y comprobaremos las sumas.

ð PASO 1

La tabla conjunta de partida.

La tabla anterior recoge las seis frecuencias conjuntas $n_{ij} $ de los $28 $ deportistas.

ð PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 8 + 4 + 2 = 14 $$

$$n_{2.} = 3 + 6 + 5 = 14 $$

Comprobación: $14 + 14 = 28 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{14}{28} = 0,5 $$

$$f_{2.} = \frac{14}{28} = 0,5 $$

La mitad de los deportistas son hombres y la otra mitad mujeres.

ð PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 8 + 3 = 11 $$

$$n_{.2} = 4 + 6 = 10 $$

$$n_{.3} = 2 + 5 = 7 $$

Comprobación: $11 + 10 + 7 = 28 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{11}{28} \approx 0,393 $$

$$f_{.2} = \frac{10}{28} \approx 0,357 $$

$$f_{.3} = \frac{7}{28} = 0,25 $$

Comprobación: $0,393 + 0,357 + 0,25 = 1 $

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{fútbol} & \text{baloncesto} & \text{tenis} & n_{i.} \\ \hline \text{hombre} & 8 & 4 & 2 & 14 \\ \hline \text{mujer} & 3 & 6 & 5 & 14 \\ \hline n_{.j} & 11 & 10 & 7 & 28 \\ \hline \end{array} $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total $n = 28 $:

$$f_{11} = \frac{8}{28} \approx 0,286 $$

$$f_{12} = \frac{4}{28} \approx 0,143 $$

$$f_{13} = \frac{2}{28} \approx 0,071 $$

$$f_{21} = \frac{3}{28} \approx 0,107 $$

$$f_{22} = \frac{6}{28} \approx 0,214 $$

$$f_{23} = \frac{5}{28} \approx 0,179 $$

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{fútbol} & \text{baloncesto} & \text{tenis} & f_{i.} \\ \hline \text{hombre} & 0,286 & 0,143 & 0,071 & 0,5 \\ \hline \text{mujer} & 0,107 & 0,214 & 0,179 & 0,5 \\ \hline f_{.j} & 0,393 & 0,357 & 0,25 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Conclusión: La distribución marginal de $X $ es $14 $ hombres y $14 $ mujeres, es decir, $0,5 $ y $0,5 $

La distribución marginal de $Y $ es $11 $ en fútbol, $10 $ en baloncesto y $7 $ en tenis, es decir, $0,393 $, $0,357 $ y $0,25 $

Ambas marginales suman el total $n = 28 $ en frecuencias absolutas y $1 $ en frecuencias relativas.

ð Ejemplo 3:

Enunciado: Se clasifican $44 $ personas según los estudios, $X $ con valores $X_1 $ = primaria, $X_2 $ = secundaria y $X_3 $ = universidad, y la situación laboral, $Y $ con valores $Y_1 $ = empleado e $Y_2 $ = desempleado.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{empleado} & \text{desempleado} \\ \hline \text{primaria} & 6 & 4 \\ \hline \text{secundaria} & 12 & 6 \\ \hline \text{universidad} & 14 & 2 \\ \hline \end{array} $$

a) Calcula la distribución marginal de $X $ con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de $Y $ con frecuencias absolutas y relativas.

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por presentar la tabla de frecuencias conjuntas.

A continuación obtendremos la marginal de $X $ sumando por filas, con frecuencias absolutas y relativas.

Para terminar obtendremos la marginal de $Y $ sumando por columnas, también con frecuencias absolutas y relativas, y comprobaremos las sumas.

ð PASO 1

La tabla conjunta de partida.

La tabla anterior recoge las seis frecuencias conjuntas $n_{ij} $ de las $44 $ personas.

ð PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 6 + 4 = 10 $$

$$n_{2.} = 12 + 6 = 18 $$

$$n_{3.} = 14 + 2 = 16 $$

Comprobación: $10 + 18 + 16 = 44 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{10}{44} \approx 0,227 $$

$$f_{2.} = \frac{18}{44} \approx 0,409 $$

$$f_{3.} = \frac{16}{44} \approx 0,364 $$

Comprobación: $0,227 + 0,409 + 0,364 = 1 $

ð PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 6 + 12 + 14 = 32 $$

$$n_{.2} = 4 + 6 + 2 = 12 $$

Comprobación: $32 + 12 = 44 $

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{32}{44} \approx 0,727 $$

$$f_{.2} = \frac{12}{44} \approx 0,273 $$

Comprobación: $0,727 + 0,273 = 1 $

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{empleado} & \text{desempleado} & n_{i.} \\ \hline \text{primaria} & 6 & 4 & 10 \\ \hline \text{secundaria} & 12 & 6 & 18 \\ \hline \text{universidad} & 14 & 2 & 16 \\ \hline n_{.j} & 32 & 12 & 44 \\ \hline \end{array} $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total $n = 44 $:

$$f_{11} = \frac{6}{44} \approx 0,136 $$

$$f_{12} = \frac{4}{44} \approx 0,091 $$

$$f_{21} = \frac{12}{44} \approx 0,273 $$

$$f_{22} = \frac{6}{44} \approx 0,136 $$

$$f_{31} = \frac{14}{44} \approx 0,318 $$

$$f_{32} = \frac{2}{44} \approx 0,045 $$

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X Y} & \text{empleado} & \text{desempleado} & f_{i.} \\ \hline \text{primaria} & 0,136 & 0,091 & 0,227 \\ \hline \text{secundaria} & 0,273 & 0,136 & 0,409 \\ \hline \text{universidad} & 0,318 & 0,045 & 0,364 \\ \hline f_{.j} & 0,727 & 0,273 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Conclusión: La distribución marginal de $X $ es $10 $ con primaria, $18 $ con secundaria y $16 $ con universidad, es decir, $0,227 $, $0,409 $ y $0,364 $

La distribución marginal de $Y $ es $32 $ empleados y $12 $ desempleados, es decir, $0,727 $ y $0,273 $

Ambas marginales suman el total $n = 44 $ en frecuencias absolutas y $1 $ en frecuencias relativas.