3.4 3.4 Tablas de doble entrada con datos agrupados en intervalos
1. Cuando X o Y son continuas: agrupar en intervalos.
Si la variable \(X \) es continua, sus valores observados no se repiten y no tiene sentido listarlos uno a uno.
En ese caso se agrupan los valores en intervalos, llamados clases.
Se divide el recorrido de \(X \) en \(k \) clases de la forma \((l_{i-1}, l_i] \), donde \(i \) toma los valores desde 1 hasta \(k \)
Cada clase recoge los valores mayores que \(l_{i-1} \) y menores o iguales que \(l_i \)
La amplitud de la clase \(i \) es \(a_i = l_i - l_{i-1} \)
Lo habitual es construir todas las clases con la misma amplitud.
Si \(Y \) también es continua, se agrupa del mismo modo en \(m \) clases \((l_{j-1}, l_j] \), donde \(j \) toma los valores desde 1 hasta \(m \)
Se han registrado los pesos, en kilogramos, de \(50 \) deportistas, con valores continuos entre \(52 \) y \(98 \)
Se agrupan en cuatro clases de la misma amplitud: \((52, 63] \), \((63, 74] \), \((74, 85] \) y \((85, 96] \), con frecuencias \(8 \), \(22 \), \(14 \) y \(6 \)
La amplitud de cada clase es \(a_i = 74 - 63 = 11 \), y la suma de las frecuencias es \(8 + 22 + 14 + 6 = 50 \)
Marcas de clase como representantes
Se observan las notas de \(40 \) estudiantes, una variable continua entre \(0 \) y \(10 \)
Se agrupan en las clases \((0, 2] \), \((2, 4] \), \((4, 6] \), \((6, 8] \) y \((8, 10] \), todas con amplitud \(a_i = 2 \)
Al agrupar se pierde el detalle de los valores individuales, por lo que cada clase se representa por un único valor: su marca de clase.
La marca de clase es el punto medio del intervalo: \(x_i = \frac{l_{i-1} + l_i}{2} \)
La marca \(x_i \) actúa como representante de todos los valores de la clase \(i \)
Todos los cálculos que necesitan valores concretos de \(X \), como la media, se realizan utilizando las marcas de clase en lugar de los datos originales.
Para \(Y \) se definen del mismo modo las marcas \(y_j = \frac{l_{j-1} + l_j}{2} \)
Tabla de doble entrada con intervalos
La tabla de doble entrada se construye igual que con datos sin agrupar, pero los encabezados de las filas y de las columnas son intervalos en lugar de valores aislados.
En las filas se colocan las clases de \(X \) y en las columnas las clases de \(Y \), ambas ordenadas de menor a mayor.
En la casilla de la fila \(i \) y la columna \(j \) se escribe la frecuencia absoluta conjunta \(n_{ij} \): el número de individuos cuya \(X \) cae en la clase \(i \) y cuya \(Y \) cae en la clase \(j \)
Sumando por filas se obtiene la distribución marginal de \(X \) y sumando por columnas la de \(Y \), exactamente igual que con datos sin agrupar.
Se estudian \(X \), el salario mensual en miles de euros, e \(Y \), la edad en años, en \(40 \) empleados.
Como ambas variables son continuas, se agrupan en clases: \(X \) en \((1, 2] \), \((2, 3] \) y \((3, 4] \); \(Y \) en \((20, 30] \) y \((30, 40] \)
La tabla de doble entrada queda así:
La casilla \(n_{11} = 10 \) indica que hay \(10 \) empleados con salario en el intervalo \((1, 2] \) (miles de euros) y edad en el intervalo \((20, 30] \) (años).
La última columna recoge las frecuencias marginales de \(X \): por ejemplo, \(n_{1.} = 10 + 4 = 14 \)
La última fila recoge las frecuencias marginales de \(Y \): por ejemplo, \(n_{.1} = 10 + 6 + 2 = 18 \)
Las marcas de clase de \(X \) son \(1,5 \), \(2,5 \) y \(3,5 \); las de \(Y \) son \(25 \) y \(35 \)
Enunciado: Se estudian \(60 \) viviendas según \(X \), la superficie en metros cuadrados, e \(Y \), el precio en miles de euros.
Las clases de \(X \) son \((50, 80] \), \((80, 110] \) y \((110, 140] \); las de \(Y \) son \((100, 150] \) y \((150, 200] \)
La tabla de frecuencias absolutas conjuntas es la siguiente:
Calcula las distribuciones marginales de \(X \ \text{e}\ Y \) y, utilizando las marcas de clase, las medias \(\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las marcas de clase de cada variable.
A continuación obtendremos las distribuciones marginales sumando las filas y las columnas de la tabla.
Para terminar calcularemos cada media multiplicando cada marca por su frecuencia marginal y dividiendo por el total de individuos.
Marcas de clase.
La marca de cada clase es su punto medio.
Para \(X \): \(x_1 = \frac{50 + 80}{2} = 65 \)
Para \(Y \): \(y_1 = \frac{100 + 150}{2} = 125 \)
Distribución marginal de X.
Sumamos cada fila: \(n_{1.} = 14 + 2 = 16 \)
Comprobamos que la suma es el total: \(16 + 18 + 26 = 60 \)
Distribución marginal de Y.
Sumamos cada columna: \(n_{.1} = 14 + 10 + 4 = 28 \)
Comprobamos que la suma es el total: \(28 + 32 = 60 \)
Media de X con las marcas de clase.
Media de Y con las marcas de clase.
La superficie media de las \(60 \) viviendas es de \(100 \) metros cuadrados y el precio medio es de \(151,67 \) miles de euros, calculados representando cada clase por su marca.
Enunciado:
Se estudian \(30 \) estudiantes según \(X \), las horas semanales de estudio, e \(Y \), la nota media.
Las clases de \(X \) son \((0, 5] \), \((5, 10] \) y \((10, 15] \); las de \(Y \) son \((0, 5] \) y \((5, 10] \)
La tabla de frecuencias absolutas conjuntas es:
Calcula las marcas de clase de \(X \ \text{e}\ Y \) y comprueba las frecuencias marginales.
Para resolver este ejemplo empezaremos calculando las marcas de clase como puntos medios de los intervalos.
A continuación comprobaremos las frecuencias marginales sumando por filas y por columnas.
Marcas de clase.
Las marcas de \(X \) son \(x_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2,5 \), \(x_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7,5 \) y \(x_3 = \frac{10 + 15}{2} = 12,5 \)
Las marcas de \(Y \) son $$y_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2,5 \ \text{e}\ y_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7,5 $$
Frecuencias marginales.
Sumando por filas: \(n_{1.} = 8 + 2 = 10 \), \(n_{2.} = 3 + 7 = 10 \), \(n_{3.} = 1 + 9 = 10 \)
Sumando por columnas: \(n_{.1} = 8 + 3 + 1 = 12 \), \(n_{.2} = 2 + 7 + 9 = 18 \)
El total es \(10 + 10 + 10 = 30 \) y también \(12 + 18 = 30 \): ambas marginales cuadran.
Las marcas de \(X \) son \(2,5 \), \(7,5 \) y \(12,5 \), y las de \(Y \) son \(2,5 \) y \(7,5 \)
Las frecuencias marginales suman por filas y por columnas el total de \(30 \) observaciones, como debe ocurrir en toda tabla de doble entrada.
Enunciado:
Con los datos del ejemplo anterior, calcula las frecuencias relativas conjuntas \(f_{ij} = \frac{n_{ij}}{n} \) y comprueba que suman uno.
Para resolver este ejemplo dividiremos cada frecuencia absoluta entre el total de \(30 \) observaciones.
Para terminar sumaremos las seis frecuencias relativas y comprobaremos que el resultado es uno.
Cálculo de las frecuencias relativas.
Comprobación de la suma.
$$0,2667 + 0,0667 + 0,1 + 0,2333 + 0,0333 + 0,3 = 1 $$, como exige la definición de frecuencia relativa.
Las frecuencias relativas conjuntas reparten la unidad entre las seis casillas de la tabla.
La casilla con más peso es la de más de \(10 \) horas de estudio y nota mayor que \(5 ,\ \text{con}\ f_{32} = 0,3 \), el treinta por ciento de los estudiantes.