1.1 Tablas de frecuencias y representaciones gráficas
El carácter estadístico y sus tipos
La Estadística Descriptiva es la parte de la Estadística que recoge, ordena y resume los datos de un estudio para describir lo observado.
Todo estudio empieza decidiendo qué característica se va a observar en cada individuo: esa característica se llama carácter estadístico y se denota \(X \)
Cada individuo aporta un valor de \(X \), y el conjunto de todos los valores observados forma los datos del estudio.
Según la naturaleza de sus valores, el carácter puede ser cuantitativo o cualitativo.
Si el carácter es cuantitativo, es decir, si sus modalidades son numéricas, se habla de variable estadística.
Si el carácter es cualitativo, es decir, si sus modalidades no son numéricas, se habla de atributo.
Las variables estadísticas, por ser numéricas, pertenecen siempre a la escala de intervalo o a la escala de razón.
Los atributos pueden pertenecer a una escala ordinal, cuando sus modalidades admiten un orden natural, o a una escala nominal, cuando no existe ningún orden entre ellas.
Las variables estadísticas se dividen a su vez en dos tipos.
Una variable es discreta cuando toma valores numéricos aislados, normalmente enteros, que se obtienen contando.
Una variable es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, y sus valores se obtienen midiendo.
La distinción es importante porque determina cómo se construye la tabla y qué gráfico procede: las discretas se representan con barras separadas y las continuas agrupadas en intervalos con histogramas.
Clasificamos cuatro características de los trabajadores de una empresa.
La característica sector económico toma valores como industria o servicios, que no son números y no admiten orden: es un atributo nominal.
La característica nivel de estudios toma valores como primarios o secundarios, que no son números pero sí admiten un orden: es un atributo ordinal.
La característica número de hijos toma valores enteros aislados como \(0 \), \(1 \) o \(2 \), que se obtienen contando: es una variable estadística discreta.
La característica salario mensual puede valer \(1642,35 \) euros o cualquier otro valor intermedio, y se obtiene midiendo: es una variable estadística continua.
Las notas de 30 alumnos en un examen forman los datos de un estudio: la tabla de frecuencias los ordena por valores y el diagrama de barras los muestra de un vistazo.
Sin esa organización, la lista de 30 números apenas dice nada.
Población y muestra
La población es el conjunto completo de individuos sobre los que se quiere estudiar el carácter \(X \)
Observar la población entera suele ser caro, lento o imposible, por lo que se trabaja con una muestra: un subconjunto de la población que debe representarla bien.
El número de individuos observados se denota \(n \) y se llama tamaño del estudio.
Las conclusiones solo serán válidas si la muestra es representativa, es decir, si reproduce a pequeña escala la composición de la población.
Se quiere estudiar el salario de los \(40000 \) habitantes de un municipio: esa es la población.
Entrevistar a los \(40000 \) habitantes es inviable, así que se eligen \(400 \) de ellos procurando que haya de todos los barrios y edades: esa es la muestra.
El tamaño del estudio es \(n = 400 \)
La tabla de frecuencias
La distribución de frecuencias trata de observar, clasificar y ordenar los valores observados del carácter, presentando los resultados organizados de manera sistemática en la tabla de frecuencias.
Recogidos los \(n \) datos, los pasos a seguir son tres: primero la ordenación de los valores, después el recuento de cuántas veces aparece cada uno y por último la clasificación y tabulación en la tabla.
Los valores distintos que toma el carácter se llaman modalidades y se denotan \(x_1, x_2, \dots, x_k \), donde \(k \) es el número de modalidades distintas.
La tabla de frecuencias resume la información en cuatro columnas que se construyen en cadena, cada una a partir de la anterior.
La frecuencia absoluta de la modalidad \(x_i \), denotada \(n_i \), es el número de individuos que presentan ese valor: se obtiene contando directamente.
Formalmente, \(n_i \) cuenta cuántas observaciones cumplen \(X = x_i \), y verifica \(0 \leq n_i \leq n \)
Como cada individuo presenta exactamente una modalidad, al sumar las frecuencias absolutas de todas las modalidades se recuperan todos los individuos observados.
Por tanto la suma de las frecuencias absolutas es el total de datos:
Esta igualdad sirve de comprobación:
si la suma no da \(n \), hay un error de conteo.
La frecuencia relativa de la modalidad \(x_i \), denotada \(f_i \), es la proporción de individuos que presentan ese valor respecto del total.
Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de datos:
La frecuencia relativa elimina el efecto del tamaño del estudio y permite comparar distribuciones con distinto \(n \)
Multiplicando por cien se obtiene el porcentaje de individuos con ese valor.
La frecuencia relativa verifica \(0 \leq f_i \leq 1 \), y la suma de todas las frecuencias relativas vale siempre uno, como se deduce directamente:
Obsérvese que la frecuencia solo toma valores distintos de cero para los valores observados del carácter:
para el resto de los valores de la recta real es nula.
Las frecuencias acumuladas solo tienen sentido cuando las modalidades admiten un orden, es decir, para variables estadísticas y para atributos ordinales.
La frecuencia absoluta acumulada hasta la modalidad \(x_i \), denotada \(N_i \), es el número de individuos con valor menor o igual que \(x_i \)
Se construye sumando las frecuencias absolutas desde la primera modalidad hasta la i-ésima:
De aquí se deducen las dos relaciones que ligan cada frecuencia con su acumulada:
y también
La frecuencia relativa acumulada hasta \(x_i \), denotada \(F_i \), es la proporción de individuos con valor menor o igual que \(x_i \)
Se obtiene acumulando las frecuencias relativas, o equivalentemente dividiendo la acumulada absoluta entre el total:
y también
y
Como cada término sumado es no negativo, las acumuladas crecen con \(i \) y la última recupera el total:
y
Dos lecturas directas de la tabla merecen nombre propio.
La modalidad con mayor frecuencia absoluta se llama moda: es el valor más repetido.
La mediana es el valor que deja por debajo a la mitad de los individuos: en la tabla es la primera modalidad cuya frecuencia relativa acumulada alcanza o supera \(0,5 \)
Los salarios mensuales netos, en euros, de los \(20 \) trabajadores de una empresa son \(1400 \), \(1500 \), \(1500 \), \(1600 \), \(1600 \), \(1600 \), \(1700 \), \(1700 \), \(1800 \), \(1800 \), \(1800 \), \(1800 \), \(1900 \), \(1900 \), \(2000 \), \(2000 \), \(2100 \), \(2200 \), \(2400 \) y \(2600 \)
La variable \(X \) es el salario mensual, hay \(k = 11 \) modalidades distintas y el total de datos es \(n = 20 \)
Contando cuántas veces aparece cada salario se obtienen las frecuencias absolutas.
Dividiendo cada una entre \(20 \) se obtienen las relativas.
Acumulando se obtienen las columnas \(N_i \) y \(F_i \)
La tabla completa queda así:
| $$x_i $$ | $$n_i $$ | $$f_i $$ | Porcentaje | $$N_i $$ | $$F_i $$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$1400 $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ | $$5\% $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ |
| $$1500 $$ | $$2 $$ | $$0,10 $$ | $$10\% $$ | $$3 $$ | $$0,15 $$ |
| $$1600 $$ | $$3 $$ | $$0,15 $$ | $$15\% $$ | $$6 $$ | $$0,30 $$ |
| $$1700 $$ | $$2 $$ | $$0,10 $$ | $$10\% $$ | $$8 $$ | $$0,40 $$ |
| $$1800 $$ | $$4 $$ | $$0,20 $$ | $$20\% $$ | $$12 $$ | $$0,60 $$ |
| $$1900 $$ | $$2 $$ | $$0,10 $$ | $$10\% $$ | $$14 $$ | $$0,70 $$ |
| $$2000 $$ | $$2 $$ | $$0,10 $$ | $$10\% $$ | $$16 $$ | $$0,80 $$ |
| $$2100 $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ | $$5\% $$ | $$17 $$ | $$0,85 $$ |
| $$2200 $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ | $$5\% $$ | $$18 $$ | $$0,90 $$ |
| $$2400 $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ | $$5\% $$ | $$19 $$ | $$0,95 $$ |
| $$2600 $$ | $$1 $$ | $$0,05 $$ | $$5\% $$ | $$20 $$ | $$1 $$ |
Comprobamos las dos sumas fundamentales:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 $$ | $$20 $$ |
| $$0,05 + 0,10 + 0,15 + 0,10 + 0,20 + 0,10 + 0,10 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 $$ | $$1 $$ |
La moda es \(1800 \) euros, el valor con mayor frecuencia absoluta.
La mediana también es \(1800 \) euros, pues es la primera modalidad con \(F_i \) mayor o igual que \(0,5 \): \(F_5 = 0,60 \)
Además, \(F_5 = 0,60 \) significa que el \(60\% \) de los trabajadores cobra \(1800 \) euros o menos.
Diagrama de barras y función de distribución empírica
Cuando la variable es discreta, cada modalidad se representa con una barra separada: es el diagrama de barras o función de frecuencia.
En el eje de abscisas se colocan los valores ordenados de la variable y en el eje de ordenadas los valores de la frecuencia, absoluta o relativa.
Sobre cada valor \(x_i \) se levanta una barra vertical de longitud igual a su frecuencia \(n_i \) o \(f_i \)
Las barras van separadas porque las modalidades son valores distintos sin continuidad entre ellos.
La suma de las longitudes de todas las barras es igual al total de individuos \(n \), o a la unidad si se representan frecuencias relativas.
La comparación visual de las alturas muestra de inmediato qué modalidades concentran más individuos.
Si el carácter es un atributo ordinal se mantiene lo anterior, con la diferencia de que al no ser numéricas las modalidades el eje de abscisas pierde su sentido numérico: las modalidades se colocan simplemente como etiquetas ordenadas.
La representación gráfica de las frecuencias acumuladas es la función de distribución empírica o diagrama de frecuencias acumuladas.
En el eje de abscisas se colocan los valores ordenados de la variable y en el eje de ordenadas los valores de la frecuencia acumulada, absoluta o relativa.
Es un gráfico en forma de escalera: la frecuencia acumulada solo crece en los valores observados de la variable, que son los que tienen frecuencia positiva, y se mantiene constante entre ellos, lo que se corresponde con los tramos horizontales del gráfico.
En símbolos, para las frecuencias absolutas acumuladas:
Para valores inferiores al primer valor observado la acumulada vale \(0 \), y para valores superiores al último vale \(n \), o \(1 \) si se trata de frecuencias relativas.
El diagrama de barras mide el crecimiento de esta función escalonada: cada barra es el salto que da la acumulada justo en ese valor.
Para los salarios del ejemplo anterior, el diagrama de barras coloca en el eje horizontal los valores desde \(1400 \) hasta \(2600 \) y sobre cada uno levanta una barra de altura igual a su frecuencia absoluta.
La barra más alta es la del salario \(1800 \), con altura \(4 \): de un vistazo se reconoce la moda.
La función de distribución empírica dibuja la escalera de las frecuencias absolutas acumuladas \(1 \), \(3 \), \(6 \), \(8 \), \(12 \), \(14 \), \(16 \), \(17 \), \(18 \), \(19 \) y \(20 \): cada tramo horizontal mantiene el valor entre dos salarios observados y el salto se produce justo en cada salario.
Atributos nominales: diagrama de sectores, diagrama polar y pictograma
Si el atributo es nominal, la frecuencia acumulada carece de sentido porque implica una ordenación que no existe.
El diagrama de barras también carece de significado, ya que desaparece el sentido del eje de abscisas, y se pasa a otras representaciones gráficas.
El diagrama de sectores divide un círculo en tantos sectores como modalidades tenga el atributo, de superficie proporcional a la frecuencia relativa.
El ángulo del sector de la modalidad \(x_i \), denotado \(\alpha_i \), se deduce por proporcionalidad directa: la vuelta completa, \(360^{\circ} \), corresponde al total \(n \), luego el ángulo de \(n_i \) individuos verifica
La suma de todos los ángulos debe completar la vuelta:
El diagrama polar se suele utilizar para datos ordenados en el tiempo: sobre una circunferencia se trazan tantos ejes como periodos haya, sobre cada eje se marca la frecuencia observada en ese periodo y finalmente se unen las marcas mediante segmentos rectos.
El pictograma representa las distintas modalidades mediante dibujos alusivos al atributo, con un tamaño proporcional a la frecuencia.
En una encuesta sobre el medio de transporte (coche, bus, metro, a pie), el diagrama de sectores asigna a cada medio un ángulo proporcional a su frecuencia:
si el 50 % va en coche, su sector mide \(180 \) grados.
Histograma, polígono de frecuencias y ojiva
Cuando la variable es continua, los valores observados apenas se repiten: no tiene sentido definir la frecuencia de cada valor observado ni representarla con un diagrama de barras.
Lo que sí tiene sentido es la frecuencia por intervalo: por ejemplo, el número de individuos con valores entre \(0 \) y \(10 \)
Para ello se divide el conjunto de posibles valores en intervalos, llamados intervalos o clases, y se define la frecuencia observada por intervalo en lugar de por valor.
Para mantener las propiedades de continuidad se consideran intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha, que se denotan \((l_{i-1}, l_i] \), salvo el primer intervalo, que incluye los dos extremos.
Estos intervalos deben formar una partición del conjunto de valores observados: deben ser disjuntos y su unión debe contener todos los valores observados.
Para cada intervalo se definen la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa del intervalo.
La frecuencia absoluta del intervalo i-ésimo es el número de observaciones mayores que el límite inferior y menores o iguales que el superior:
y la relativa es su proporción respecto del total:
El punto central del intervalo se llama marca de clase y se denota \(c_i \): hace las veces de valor representativo de la clase.
La amplitud del intervalo, denotada \(a_i \), es la diferencia entre sus extremos:
¿Qué pasa con la frecuencia acumulada? Su crecimiento ya no es escalonado como en el caso discreto, sino continuo: por eso se unen los puntos con segmentos rectos y se dibuja una poligonal lineal a trozos.
Denotamos por \(N_i \) y \(F_i \) la frecuencia acumulada absoluta y la relativa en el extremo superior del intervalo i-ésimo:
y
Se verifican las mismas relaciones que en el
caso discreto:
y
Cada trozo de la poligonal define un intervalo de clase, teniendo en cuenta que se incluye el extremo superior y no el inferior, salvo en el primer intervalo, que incluye los dos extremos.
El crecimiento de la función de distribución empírica en cada intervalo se denomina densidad de frecuencia del intervalo y se denota \(h_i \): es el cociente entre el crecimiento de la acumulada relativa y la amplitud del intervalo,
Con frecuencias absolutas equivale a \(h_i = \frac{n_i}{n \cdot a_i} \)
El histograma representa esta densidad de frecuencia: sobre cada clase se levanta un rectángulo cuya área es proporcional a su frecuencia, de modo que la densidad es constante dentro de cada intervalo.
Si todas las clases tienen la misma amplitud, el área es proporcional a la altura y basta tomar como altura la frecuencia \(n_i \) o \(f_i \)
Si las amplitudes difieren, la altura debe ser la densidad \(h_i \), para que sea el área, y no la altura, la que represente la frecuencia.
El polígono de frecuencias se obtiene uniendo con segmentos los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos del histograma.
Resume la forma de la distribución con una línea quebrada que sube donde se concentran los datos y baja donde escasean.
La ojiva es el polígono de las frecuencias acumuladas: une los puntos formados por el extremo superior de cada clase y su frecuencia acumulada \(N_i \)
Como las acumuladas nunca decrecen, la ojiva es siempre creciente y termina a la altura del total \(n \)
Agrupamos los \(20 \) salarios del ejemplo anterior en cuatro clases de amplitud \(300 \) euros, con la primera incluyendo ambos extremos y las demás abiertas por la izquierda.
La clase de \(1300 \) a \(1600 \) contiene \(6 \) salarios y su marca de clase es \(1450 \)
La clase de \(1600 \) a \(1900 \) contiene \(8 \) salarios y su marca de clase es \(1750 \)
La clase de \(1900 \) a \(2200 \) contiene \(4 \) salarios y su marca de clase es \(2050 \)
La clase de \(2200 \) a \(2600 \) contiene \(2 \) salarios y su marca de clase es \(2400 \)
El histograma dibuja cuatro rectángulos pegados de alturas \(6 \), \(8 \), \(4 \) y \(2 \): al tener todas las clases la misma amplitud, la altura representa directamente la frecuencia.
El polígono de frecuencias une los puntos medios de las partes altas de esos rectángulos y muestra un pico en la marca \(1750 \)
Las frecuencias absolutas acumuladas en los extremos superiores son \(6 \), \(14 \), \(18 \) y \(20 \)
La ojiva une los extremos superiores \(1600 \), \(1900 \), \(2200 \) y \(2600 \) con esas acumuladas:
es creciente y termina a la altura de \(20 \)
Se han agrupado \(60 \) observaciones en dos clases de distinta amplitud: la clase \((0,10] \) con frecuencia \(30 \) y la clase \((10,40] \) con frecuencia \(30 \)
Las amplitudes son \(a_1 = 10 \) y \(a_2 = 30 \), y las frecuencias relativas valen \(f_1 = f_2 = 0,5 \)
Las densidades son
y
Aunque las dos clases tienen la misma frecuencia, el segundo rectángulo del histograma debe ser más bajo: lo que representa la frecuencia es el área, y se comprueba que
En 25 supermercados se ha anotado el precio del litro de aceite de oliva, en euros, con los siguientes resultados: el precio \(4,5 \) aparece \(3 \) veces, el precio \(4,8 \) aparece \(5 \) veces, el precio \(5 \) aparece \(7 \) veces, el precio \(5,2 \) aparece \(6 \) veces y el precio \(5,5 \) aparece \(4 \) veces.
a) Construye la tabla de frecuencias completa.
b) ¿Qué porcentaje de supermercados vende el litro a \(5 \) euros o menos?
c) Dibuja el diagrama de sectores.
Para resolver este ejemplo empezaremos por construir la tabla completa calculando las frecuencias relativas, las acumuladas y los porcentajes.
A continuación usaremos la frecuencia relativa acumulada para obtener el porcentaje pedido.
Para terminar calcularemos los ángulos de los sectores y describiremos el diagrama.
Construcción de la tabla de frecuencias.
Los datos ya vienen agrupados por modalidades: el total es \(n = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 = 25 \)
Calculamos la primera frecuencia relativa: \(f_1 = \frac{3}{25} = 0,12 \)
Del mismo modo se obtienen \(f_2 = 0,20 \), \(f_3 = 0,28 \), \(f_4 = 0,24 \) y \(f_5 = 0,16 \)
Acumulando resultan las \(N_i \): \(3 \), \(8 \), \(15 \), \(21 \) y \(25 \)
Y las \(F_i \): \(0,12 \), \(0,32 \), \(0,60 \), \(0,84 \) y \(1 \)
La tabla completa queda así:
| $$x_i $$ | $$n_i $$ | $$f_i $$ | Porcentaje | $$N_i $$ | $$F_i $$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$4,5 $$ | $$3 $$ | $$0,12 $$ | $$12\% $$ | $$3 $$ | $$0,12 $$ |
| $$4,8 $$ | $$5 $$ | $$0,20 $$ | $$20\% $$ | $$8 $$ | $$0,32 $$ |
| $$5 $$ | $$7 $$ | $$0,28 $$ | $$28\% $$ | $$15 $$ | $$0,60 $$ |
| $$5,2 $$ | $$6 $$ | $$0,24 $$ | $$24\% $$ | $$21 $$ | $$0,84 $$ |
| $$5,5 $$ | $$4 $$ | $$0,16 $$ | $$16\% $$ | $$25 $$ | $$1 $$ |
Porcentaje de supermercados con precio menor o igual que 5 euros.
Vender a \(5 \) euros o menos significa acumular hasta la tercera modalidad.
Esa proporción es \(F_3 = 0,60 \)
Por tanto el porcentaje pedido es \(F_3 \cdot 100 = 0,60 \cdot 100 = 60 \) por ciento.
Diagrama de sectores.
Calculamos cada ángulo con \(\alpha_i = f_i \cdot 360^{\circ} \)
Resultan \(43,2 \), \(72 \), \(100,8 \), \(86,4 \) y \(57,6 \) grados.
Comprobamos la vuelta completa:
El diagrama dibuja un círculo dividido en cinco sectores con esos ángulos, el mayor de \(100,8 \) grados para el precio de \(5 \) euros, que es el más frecuente.
La tabla queda validada porque las frecuencias absolutas suman \(25 \) y las relativas suman \(1 \)
El \(60\% \) de los supermercados vende a \(5 \) euros o menos.
Los salarios mensuales, en euros, de \(40 \) trabajadores se han agrupado en la siguiente tabla: clase de \(1200 \) a \(1500 \) con frecuencia \(6 \); clase de \(1500 \) a \(1800 \) con frecuencia \(10 \); clase de \(1800 \) a \(2100 \) con frecuencia \(12 \); clase de \(2100 \) a \(2400 \) con frecuencia \(8 \); clase de \(2400 \) a \(2700 \) con frecuencia \(4 \)
a) Completa la tabla con las marcas de clase, las frecuencias relativas y las acumuladas.
b) Describe el histograma y el polígono de frecuencias.
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores cobra \(1800 \) euros o menos?
d) Describe la ojiva e indica la clase modal.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular las marcas de clase y completar las columnas de frecuencias relativas y acumuladas.
A continuación describiremos el histograma y el polígono a partir de las clases y sus frecuencias.
Después leeremos el porcentaje pedido en la frecuencia acumulada correspondiente.
Para terminar describiremos la ojiva e identificaremos la clase modal.
Tabla completa con marcas de clase.
La primera clase, de \(1200 \) a \(1500 \), incluye ambos extremos; las demás incluyen el extremo superior pero no el inferior.
Las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos: \(1350 \), \(1650 \), \(1950 \), \(2250 \) y \(2550 \)
Las frecuencias relativas se obtienen dividiendo entre \(n = 40 \): \(0,15 \), \(0,25 \), \(0,30 \), \(0,20 \) y \(0,10 \)
Acumulando, las \(N_i \) valen \(6 \), \(16 \), \(28 \), \(36 \) y \(40 \)
Y las \(F_i \) valen \(0,15 \), \(0,40 \), \(0,70 \), \(0,90 \) y \(1 \)
La tabla completa queda así:
| Clase | $$c_i $$ | $$n_i $$ | $$f_i $$ | $$N_i $$ | $$F_i $$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$1200 $$ a $$1500 $$ | $$1350 $$ | $$6 $$ | $$0,15 $$ | $$6 $$ | $$0,15 $$ |
| $$1500 $$ a $$1800 $$ | $$1650 $$ | $$10 $$ | $$0,25 $$ | $$16 $$ | $$0,40 $$ |
| $$1800 $$ a $$2100 $$ | $$1950 $$ | $$12 $$ | $$0,30 $$ | $$28 $$ | $$0,70 $$ |
| $$2100 $$ a $$2400 $$ | $$2250 $$ | $$8 $$ | $$0,20 $$ | $$36 $$ | $$0,90 $$ |
| $$2400 $$ a $$2700 $$ | $$2550 $$ | $$4 $$ | $$0,10 $$ | $$40 $$ | $$1 $$ |
Histograma y polígono de frecuencias.
Todas las clases tienen amplitud \(300 \), así que el histograma levanta cinco rectángulos pegados de alturas \(6 \), \(10 \), \(12 \), \(8 \) y \(4 \)
El polígono de frecuencias une los puntos medios de las partes altas de esos rectángulos y presenta un pico en la marca \(1950 \)
La gráfica siguiente dibuja juntos los tres elementos: el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva (esta última une los extremos superiores con las frecuencias acumuladas).
Porcentaje de trabajadores con salario de 1800 euros o menos.
Cobrar \(1800 \) euros o menos es acumular hasta la segunda clase, que es el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha \((1500, 1800] \)
Esa proporción es \(F_2 = 0,40 \)
Por tanto el porcentaje pedido es \(F_2 \cdot 100 = 0,40 \cdot 100 = 40 \) por ciento.
Ojiva y clase modal.
La ojiva une los extremos superiores \(1500 \), \(1800 \), \(2100 \), \(2400 \) y \(2700 \) con las acumuladas \(6 \), \(16 \), \(28 \), \(36 \) y \(40 \): es creciente y termina a la altura de \(40 \)
La clase modal es la de mayor frecuencia: la clase de \(1800 \) a \(2100 \) euros, con \(12 \) trabajadores.
La distribución es unimodal con pico en la clase de \(1800 \) a \(2100 \) euros.
El \(40\% \) de los trabajadores cobra \(1800 \) euros o menos.
Los \(200 \) trabajadores de una comarca se reparten por sector económico así: agricultura, \(30 \); industria, \(50 \); construcción, \(20 \); servicios, \(100 \)
a) Construye la tabla de frecuencias con porcentajes.
b) Explica por qué no proceden ni el diagrama de barras ni las frecuencias acumuladas.
c) Calcula los ángulos y describe el diagrama de sectores.
d) Interpreta el resultado: ¿qué sector predomina?
Para resolver este ejemplo empezaremos por construir la tabla calculando frecuencias relativas y porcentajes, notando que al ser un atributo nominal no proceden las acumuladas.
A continuación justificaremos por qué tampoco procede el diagrama de barras.
Después calcularemos los ángulos de los sectores y describiremos el diagrama.
Para terminar identificaremos el sector modal y lo interpretaremos.
Tabla de frecuencias.
El total es \(n = 30 + 50 + 20 + 100 = 200 \)
La primera frecuencia relativa es \(f_1 = \frac{30}{200} = 0,15 \)
Del mismo modo se obtienen \(f_2 = 0,25 \), \(f_3 = 0,10 \) y \(f_4 = 0,50 \)
Los porcentajes son \(15\% \), \(25\% \), \(10\% \) y \(50\% \)
La tabla completa queda así:
| Sector | $$n_i $$ | $$f_i $$ | Porcentaje |
|---|---|---|---|
| Agricultura | $$30 $$ | $$0,15 $$ | $$15\% $$ |
| Industria | $$50 $$ | $$0,25 $$ | $$25\% $$ |
| Construcción | $$20 $$ | $$0,10 $$ | $$10\% $$ |
| Servicios | $$100 $$ | $$0,50 $$ | $$50\% $$ |
Al ser el sector un atributo nominal, sin orden entre modalidades, las frecuencias acumuladas carecen de sentido y no se calculan.
Por qué no hay barras ni acumuladas.
El sector económico es un atributo nominal: sus modalidades no son números y no admiten ningún orden.
Sin orden no existen frecuencias acumuladas, y sin eje de abscisas con sentido el diagrama de barras carece de significado.
Por eso se recurre al diagrama de sectores y, en general, al diagrama polar o al pictograma.
Diagrama de sectores.
Los ángulos se obtienen con \(\alpha_i = f_i \cdot 360^{\circ} \): \(54 \), \(90 \), \(36 \) y \(180 \) grados.
Comprobamos la vuelta completa:
El diagrama es un círculo dividido en cuatro sectores, con medio círculo exacto para los servicios.
Interpretación del resultado.
El sector modal es servicios, con la mitad de los trabajadores: \(f_4 = 0,50 \)
La comarca tiene una economía terciarizada: uno de cada dos trabajadores está en los servicios.
La tabla y el diagrama confirman el predominio de los servicios, con el \(50\% \) de los trabajadores y un sector de \(180 \) grados en el diagrama.