1.2 Medidas de posición: media, mediana, moda y percentiles
Medidas de posición: qué son y para qué sirven.
Cuando se recoge un conjunto numeroso de observaciones, resulta imposible retener cada dato individual y extraer conclusiones a simple vista.
Por este motivo se construyen las medidas de posición: unos pocos valores numéricos que resumen dónde se sitúa el conjunto de datos y cómo se reparten a su alrededor.
Se dividen en dos familias: las medidas de tendencia central, que buscan el valor más representativo del conjunto, y las medidas de posición no central, que indican dónde se encuentran determinados porcentajes de los datos.
Las primeras son la media, la mediana y la moda; las segundas, los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles).
A ellas se añaden otras medias distintas de la aritmética, útiles en situaciones especiales, y el estudio de las posiciones relativas de los tres promedios.
Estudiaremos cada una partiendo de la idea intuitiva, deduciendo su fórmula y analizando cuándo conviene usarla.
La media aritmética
La idea intuitiva es la del reparto equitativo: el total acumulado repartido a partes iguales entre todas las observaciones.
Para formalizarla partimos de lo más genérico.
Llamamos \(x_1, x_2, \dots, x_n \) a las \(n \) observaciones y buscamos un valor \(c \) que las represente a todas.
Imponemos la condición de que sustituir cada observación por \(c \) no altere el total acumulado.
El total original es \(\sum_{i=1}^{n} x_i \) y el total tras la sustitución es \(n \cdot c \)
Igualando ambos totales obtenemos la ecuación \(n \cdot c = \sum_{i=1}^{n} x_i \)
Despejando \(c \) llegamos a la media aritmética, que se denota \(\bar{x} \):
Es decir, la media es el valor que, repetido \(n \) veces, reproduce exactamente el total de los datos.
Los sueldos mensuales de \(5 \) trabajadores de un comercio, en euros, son: \(1200, 1350, 1400, 1600, 2100 \)
Primero escribimos los operandos y calculamos el total:
Aplicamos la fórmula de la media:
El sueldo medio es \(1530 \) euros:
si el total se repartiera a partes iguales, cada trabajador percibiría esa cantidad.
Primera propiedad: la suma de las desviaciones respecto a la media es cero.
Se llama desviación de cada observación a su distancia con signo respecto a la media: \(d_i = x_i - \bar{x} \)
La propiedad afirma que \(\sum_{i=1}^{n} d_i = 0 \)
Demostración: partimos de la definición y sumamos sobre todas las observaciones.
Ahora bien, de la propia definición de la media se deduce que \(\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x} \)
Sustituyendo:
Por tanto las desviaciones positivas y negativas se compensan exactamente: la media es el centro de gravedad de los datos.
Segunda propiedad: la media minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones.
Fijado un candidato cualquiera \(c \), definimos el error cuadrático total \(S(c) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 \)
La propiedad afirma que este error es mínimo precisamente cuando \(c = \bar{x} \)
Demostración: desarrollamos el cuadrado dentro del sumatorio.
Como \(\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x} \), sustituimos y completamos el cuadrado en \(c \), sumando y restando \(n \bar{x}^2 \):
El segundo sumando no depende de \(c \)
El primero es \(n (c - \bar{x})^2 \geq 0 \), pues es un cuadrado multiplicado por \(n \), que es positivo.
Por tanto \(S(c) \) alcanza su valor mínimo cuando ese término se anula, es decir, cuando \(c = \bar{x} \)
Queda demostrado que ningún otro valor aproxima mejor al conjunto en el sentido de los mínimos cuadrados.
Media ponderada.
Hasta ahora todas las observaciones valían lo mismo.
En economía es frecuente que cada dato tenga una importancia distinta: en un índice de precios, la alimentación pesa más que el ocio porque las familias gastan más en ella.
Llamamos peso a esa importancia y lo denotamos \(w_i \) para la observación \(x_i \)
Para deducir la fórmula repetimos la construcción de la media: cada observación aporta ahora \(w_i \) veces su valor al total, y el número total de unidades de peso es \(\sum_{i=1}^{n} w_i \)
El valor representativo, la media ponderada \(x_p \), es por tanto:
Si todos los pesos son iguales, \(w_i = w \), el peso común se simplifica y se recupera la media aritmética ordinaria:
Obsérvese que siempre es posible tomar los pesos de forma que sumen la unidad: basta dividir cada peso entre la suma de todos, es decir, trabajar con \(\alpha_i = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n} w_j} \), y entonces \(x_p = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i \) con \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \)
Un índice de precios simplificado sigue \(3 \) grupos con sus ponderaciones sobre \(100 \): alimentación, peso \(40 \) y subida del \(2,1 \% \); vivienda, peso \(35 \) y subida del \(1,4 \% \); transporte, peso \(25 \) y subida del \(3,0 \% \)
Escribimos la fórmula con los operandos:
Calculamos cada aportación por separado:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$40 \cdot 2,1 $$ | $$84 $$ |
| $$35 \cdot 1,4 $$ | $$49 $$ |
| $$25 \cdot 3,0 $$ | $$75 $$ |
Sustituimos y operamos:
La subida media ponderada de los precios es del \(2,08 \% \)
Media para datos agrupados.
Cuando los datos vienen agrupados en intervalos no se conocen los valores individuales.
Partimos de la hipótesis más simple posible: dentro de cada intervalo los valores se reparten de manera uniforme, por lo que el intervalo queda bien representado por su punto medio, la marca de clase \(x_i \)
Si la clase \(i \) tiene frecuencia \(n_i \), es como si su marca apareciera \(n_i \) veces: la frecuencia actúa como peso.
La media para datos agrupados es por tanto una media ponderada con pesos \(n_i \):
donde \(k \) es el número de intervalos y \(N \) el número total de observaciones.
Los sueldos mensuales de \(20 \) trabajadores, en euros, se agrupan en \(3 \) tramos: de \(1000 \) a \(1500 \), \(6 \) trabajadores; de \(1500 \) a \(2000 \), \(9 \) trabajadores; de \(2000 \) a \(2500 \), \(5 \) trabajadores.
Las marcas de clase son los puntos medios:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$x_1 $$ | $$\frac{1000 + 1500}{2} = 1250 $$ |
| $$x_2 $$ | $$\frac{1500 + 2000}{2} = 1750 $$ |
| $$x_3 $$ | $$\frac{2000 + 2500}{2} = 2250 $$ |
Escribimos los operandos de la media ponderada:
Operamos cada producto:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$6 \cdot 1250 $$ | $$7500 $$ |
| $$9 \cdot 1750 $$ | $$15750 $$ |
| $$5 \cdot 2250 $$ | $$11250 $$ |
Sumamos y dividimos:
El sueldo medio estimado es \(1725 \) euros.
Cambios de origen y de escala.
Dos propiedades sencillas pero fundamentales describen cómo responde la media cuando se transforman los datos.
Si a todos los valores de una variable \(x \) se les suma una constante \(a \), se obtiene una nueva variable \(y = x + a \) cuya media es la antigua más esa misma constante: \(\bar{y} = \bar{x} + a \)
Es lo que ocurre cuando se aplica un cambio de origen:
si a todos los alumnos de una clase se les sube un punto la nota, la nueva nota media será la antigua aumentada también en un punto.
La demostración es directa: como \(y_i = x_i + a \), al promediar la constante sale del sumatorio multiplicada por \(n \) y queda $$\bar{y} = \frac{\sum x_i + n a}{n} = \bar{x} + a $$
Si a todos los valores se les multiplica por una constante \(b \), se obtiene \(y = b x \) y la media queda multiplicada por esa misma constante: \(\bar{y} = b \bar{x} \)
Es el cambio de escala: al pasar unos salarios de euros a dólares multiplicando por el tipo de cambio, la media en dólares es la media en euros multiplicada por ese mismo tipo.
Reuniendo ambas propiedades, ante una transformación lineal \(y = a + b x \) (cambio de origen y de escala a la vez) la media se transforma con la misma regla: \(\bar{y} = a + b \bar{x} \)
Media de una población dividida en estratos.
Cuando la población se divide en grupos o estratos de los que se conocen el tamaño y la media, la media global es la media ponderada de las medias de los estratos, con pesos iguales a sus tamaños.
Con dos estratos de tamaños \(N_1 \ \text{e}\ N_2 \) y medias \(\bar{x}_1 \ \text{e}\\\bar{x}_2 \), la media global es:
La idea es inmediata: el total de cada estrato es su tamaño por su media, y el total global es la suma de los totales; la fórmula se generaliza sin cambios a más de dos estratos.
En una asignatura hay dos grupos: el primero de \(20 \) alumnos con nota media \(4 \), y el segundo de \(35 \) alumnas con nota media \(6 \)
La nota media conjunta es:
$$\bar{x} = \frac{20 \cdot 4 + 35 \cdot 6}{20 + 35} = \frac{80 + 210}{55} = \frac{290}{55} = 5,273 $$ puntos.
La mediana
La mediana responde a otra pregunta: qué valor deja por debajo y por encima al mismo número de observaciones.
Se denota \(Me \) (o \(m \)).
El primer paso para construirla es ordenar los datos de menor a mayor: \(x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)} \)
Si \(n \) es impar, existe una observación justo en el centro, la que ocupa la posición \(\frac{n+1}{2} \), y ese valor es la mediana:
Si \(n \) es par, hay dos observaciones centrales, las que ocupan las posiciones \(\frac{n}{2} \) y \(\frac{n}{2} + 1 \), y por convenio la mediana no es única: es cualquier valor comprendido entre ambas.
En la práctica, para evitar esta indeterminación, se toma el menor de esos valores, es decir, la observación que ocupa la posición \(\frac{n}{2} \)
De forma general, con la tabla de frecuencias, se busca en las frecuencias absolutas acumuladas el primer valor \(N_i \) mayor o igual que \(n/2 \) (o el primer \(F_i \) mayor o igual que \(0,50 \) si se trabaja con frecuencias relativas).
Si \(N_i = n/2 \) exactamente, cualquier valor del intervalo \([x_i, x_{i+1}] \) es una mediana y en la práctica se toma \(x_i \);
si \(N_i > n/2 \), la mediana es \(x_i \)
La razón de fondo es que la mediana parte la muestra ordenada en dos mitades del mismo tamaño.
Las tasas de inflación anual de \(6 \) años, en porcentaje y ya ordenadas, son: \(1,8; \; 2,0; \; 2,3; \; 2,9; \; 3,1; \; 3,5 \)
Como \(n = 6 \) es par, calculamos \(n/2 = 3 \): la tercera frecuencia acumulada coincide exactamente con ese valor, luego cualquier número entre la tercera observación (\(2,3 \)) y la cuarta (\(2,9 \)) es una mediana.
En la práctica tomamos
la tercera: \(Me = 2,3 \)
La mitad de los años tuvo una inflación igual o inferior a \(2,3 \) y la otra mitad igual o superior.
Mediana para datos agrupados en intervalos.
Cuando los datos vienen agrupados en intervalos no se conocen los valores individuales, así que la mediana se estima por interpolación dentro de la clase que la contiene, salvo que alguna frecuencia acumulada coincida exactamente con \(N/2 \), en cuyo caso una mediana es el propio límite de la clase.
La clase mediana es la primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza o supera a \(N/2 \), donde \(N \) es el total de observaciones.
Llamamos \(L_i \) al límite inferior de la clase mediana, \(N_{i-1} \) a la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior, \(n_i \) a la frecuencia absoluta de la clase mediana y \(A_i \) a su amplitud.
La amplitud de la clase mediana se calcula como \(A_i = L_{sup} - L_{inf} \)
Como dentro de la clase mediana se supone que los valores se reparten de forma uniforme (hipótesis de uniformidad), la mediana se obtiene por interpolación lineal:
Los pesos de \(19 \) recién nacidos, en kilogramos, se agrupan así: de \(2,4 \) a \(2,9 \), \(3 \) casos; de \(2,9 \) a \(3,3 \), \(6 \) casos; de \(3,3 \) a \(3,8 \), \(6 \) casos; de \(3,8 \) a \(4,5 \), \(4 \) casos.
Las frecuencias acumuladas son \(3,9, 15,19 \)
Como \(N/2 = 9,5 \), la clase mediana es
la tercera, la que va de \(3,3 \) a \(3,8 \), pues su acumulada pasa de \(9 \) a \(15 \)
Aplicamos la fórmula con \(L_i = 3,3 \), \(N_{i-1} = 9 \), \(n_i = 6 \ \text{e}\ A_i = 0,5 \):
$$Me = 3,3 + \frac{9,5 - 9}{6} \cdot 0,5 = 3,34 $$ kilogramos.
La moda
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia: el más repetido de la muestra.
Se denota \(Mo \)
A diferencia de la media y la mediana, no se calcula con operaciones, sino contando repeticiones.
Si un solo valor alcanza la frecuencia máxima, la distribución es unimodal;
si son dos, bimodal;
si hay más, multimodal.
Y si todos los valores aparecen el mismo número de veces, la moda no existe, porque ningún valor destaca sobre los demás.
La moda es además la única medida de tendencia central que puede calcularse para variables cualitativas, donde no tiene sentido sumar ni ordenar.
El precio del litro de aceite de oliva en \(6 \) comercios, en euros, es: $$4,20; \; 4,50; \; 4,20; \; 4,80; \; 4,20; \; 5,10 $$
Contamos las repeticiones: el \(4,20 \) aparece \(3 \) veces, y el resto solo una.
Por tanto la moda es \(Mo = 4,20 \) euros, y la distribución es unimodal.
Moda para datos agrupados en intervalos.
Con intervalos de igual amplitud, la clase modal es la de mayor frecuencia absoluta.
Llamamos \(n_i \) a la frecuencia absoluta de la clase modal, \(n_{i-1} \) a la de la clase anterior y \(n_{i+1} \) a la de la clase siguiente.
Definimos \(d_1 = n_i - n_{i-1} \) y \(d_2 = n_i - n_{i+1} \)
Si la clase modal es
la primera, no hay clase anterior y se toma \(n_{i-1} = 0 \);
si es la última, se toma \(n_{i+1} = 0 \)
Llamamos \(A_i \) a la amplitud de la clase modal, que se calcula como \(A_i = L_{sup} - L_{inf} \)
La fórmula de la moda con intervalos de igual amplitud es:
Con intervalos de distinta amplitud la clase modal no se elige por frecuencia absoluta, sino por densidad: es la de mayor densidad.
La densidad de cada clase es \(d_i = \frac{n_i}{A_i} \)
Llamamos \(d_{i-1} \) a la densidad de la clase anterior y \(d_{i+1} \) a la de la clase siguiente, y definimos \(h_1 = d_i - d_{i-1} \) y \(h_2 = d_i - d_{i+1} \)
Si la clase modal es
la primera, se toma \(d_{i-1} = 0 \);
si es la última, se toma \(d_{i+1} = 0 \)
La fórmula de la moda con intervalos de distinta amplitud es:
La idea de fondo es que la moda queda desplazada dentro de la clase modal hacia el lado de la clase contigua con más densidad, en proporción a las diferencias de densidades.
En el ejemplo de los pesos de los recién nacidos, las alturas del histograma (las densidades) de las clases centrales son \(h_{i-1} = 6 \), \(h_i = 15 \ \text{e}\ h_{i+1} = 12 \), y la clase modal es la que va de \(2,9 \) a \(3,3 \), de amplitud \(A_i = 0,4 \)
Calculamos $$h_1 = 15 - 6 = 9 \ \text{e}\ h_2 = 15 - 12 = 3 $$
$$Mo = 2,9 + \frac{9}{9 + 3} \cdot 0,4 = 2,9 + 0,3 = 3,2 $$ kilogramos.
Como se aprecia, la moda queda en la parte derecha de la clase modal, atraída por la clase contigua de mayor densidad.
Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles
La mediana responde a la pregunta del \(50 \% \)
Los cuantiles generalizan esa idea a cualquier porcentaje: dado \(u \) entre \(0 \) y \(1 \), el cuantil de orden \(u \), denotado \(q(u) \), es el valor que deja por debajo de sí (menores o iguales) una fracción \(u \) de las observaciones, es decir, el valor con frecuencia relativa acumulada \(u \) (o frecuencia absoluta acumulada \(u \cdot n \)).
Los cuantiles más usados tienen nombre propio: los cuartiles \(Q_1 = q(0,25) \), \(Q_2 = q(0,50) \), que coincide con la mediana, y \(Q_3 = q(0,75) \); los deciles \(D_1 = q(0,10) \), \(D_2 = q(0,20) \), y así hasta \(D_9 = q(0,90) \); y los percentiles \(P_k = q(k/100) \), de modo que \(P_{25} = Q_1 \), \(P_{50} = Q_2 \), etc.
Cálculo con datos no agrupados.
Se calcula la frecuencia teórica \(u \cdot n \) y se busca en las frecuencias acumuladas.
Si ninguna frecuencia acumulada coincide con ella, el cuantil es la primera observación que la supera.
Si alguna coincide, el cuantil es cualquier valor entre esa observación y la siguiente; en la práctica se toma el mínimo, es decir, la propia observación.
Una variable toma los valores \(2,1 \) (2 veces), \(3,3 \) (2 veces), \(4,5 \) (3 veces) y \(5,7 \) (1 vez), con \(n = 8 \) y frecuencias acumuladas \(2,4, 7,8 \)
Para \(q(0,75) \) la frecuencia teórica es \(0,75 \cdot 8 = 6 \): como no aparece en la tabla, tomamos la primera observación que la supera, \(q(0,75) = 4,5 \), que es el tercer cuartil.
Para \(q(0,30) \) la frecuencia teórica es \(2,4 \): tampoco aparece, luego \(q(0,30) = 3,3 \), el tercer decil.
Para \(q(0,25) \) la frecuencia teórica es \(2 \), que sí coincide con la primera acumulada: cualquier valor entre \(2,1 \) y \(3,3 \) es el cuantil, y en la práctica tomamos \(q(0,25) = 2,1 \), el primer cuartil.
Cálculo con datos agrupados en intervalos.
Se localiza el primer intervalo cuya frecuencia acumulada alcanza o supera a \(u \cdot N \) y se interpola dentro de él con la misma hipótesis de uniformidad que en la mediana:
Con los pesos de los \(19 \) recién nacidos del apartado anterior, \(q(0,50) \) es la mediana ya calculada, \(3,34 \) kilogramos.
Para \(q(0,10) \) la frecuencia teórica es \(0,10 \cdot 19 = 1,9 \), que cae en la primera clase (la que va de \(2,4 \) a \(2,9 ,\ \text{con}\ N_{i-1} = 0 \), \(n_i = 3 \) y \(A_i = 0,5 \)):
$$q(0,10) = 2,4 + \frac{1,9 - 0}{3} \cdot 0,5 = 2,72 $$ kilogramos, el primer decil.
Para \(q(0,87) \) la frecuencia teórica es \(0,87 \cdot 19 = 16,53 \), que cae en la última clase (la que va de \(3,8 \) a \(4,5 ,\ \text{con}\ N_{i-1} = 15 \), \(n_i = 4 \) y \(A_i = 0,7 \)):
La mediana y los cuantiles también sirven para caracteres cualitativos susceptibles de ordenación (escala ordinal).
Como \(n/2 = 25 \), la modalidad mediana es estudios medios, la primera cuya acumulada supera \(25 \)
El percentil \(98 \) corresponde a estudios superiores, pues el \(98 \% \) de \(50 \) son \(49 \) personas y hay que contar hasta esa modalidad para acumularlas.
Las medias no aritméticas: armónica, geométrica y cuadrática
Además de la media aritmética existen otros promedios útiles en situaciones especiales.
En este apartado suponemos que todos los valores observados son estrictamente positivos, \(0 < x_1 < \dots < x_k \), con frecuencias \(n_1, \dots, n_k \)
Entonces los promedios que vamos a definir están comprendidos entre el valor mínimo y el máximo de la distribución, y si la distribución toma un único valor todos coinciden con él; en otro caso se verifica la cadena de desigualdades \(x_1 < H < G < \bar{x} < C < x_k \)
Media armónica.
La media armónica \(H \) es el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores:
No está definida si alguna observación es cero; un valor anormalmente grande apenas le afecta, pero uno anormalmente pequeño repercute mucho.
Aparece al promediar magnitudes relativas (cocientes) cuando las frecuencias se refieren al numerador del cociente.
Un ciclista recorre \(4 \) kilómetros a \(20 \) kilómetros por hora y luego otros \(3 \) kilómetros a \(30 \) kilómetros por hora.
La velocidad media es el espacio total entre el tiempo total: el primer tramo lleva \(\frac{4}{20} = 0,2 \) horas y el segundo \(\frac{3}{30} = 0,1 \) horas, luego \(v = \frac{7}{0,3} = 23,33 \) kilómetros por hora.
Con la fórmula de la media armónica: $$H = \frac{7}{\frac{4}{20} + \frac{3}{30}} = 23,33 $$
Obsérvese que la media aritmética daría \(\frac{20 \cdot 4 + 30 \cdot 3}{7} = 24,29 \), que sería la velocidad media si los valores \(4 \) y \(3 \) se refirieran al tiempo (el denominador) en lugar de a la distancia.
Media geométrica.
La media geométrica \(G \) es la raíz \(N \)-ésima del producto de todos los valores:
Tomando logaritmos se obtiene que \(\log G \) es la media aritmética de los valores \(\log x_i \);
si algún valor se anula, \(G \) vale cero.
Aparece al promediar magnitudes acumulativas que evolucionan por porcentajes.
Un capital rinde al interés compuesto el \(5 \% \) el primer año, el \(20 \% \) cada uno de los dos siguientes y el \(30 \% \) el cuarto.
Los factores de capitalización son \(1,05; \; 1,2; \; 1,2; \; 1,3 \), y el interés medio acumulativo \(r_m \) es el interés constante que produce el mismo capital final: $$(1 + r_m)^4 = 1,05 \cdot 1,2^2 \cdot 1,3 = 1,9656 $$, de donde \(1 + r_m = \sqrt[4]{1,9656} = 1,1841 \), es decir, \(r_m = 18,41 \% \)
El valor \(1 + r_m \) es la media geométrica de los factores \(1 + r_i \), y siempre es menor que la media aritmética de los intereses (aquí \(18,75 \% \)), salvo que todos los intereses sean iguales.
Media cuadrática.
La media cuadrática \(C \) es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores:
Penaliza más una desviación grande de cero que varias pequeñas que sumen lo mismo, por lo que se usa para resumir errores: lo ideal sería que todos fueran nulos y \(C \) da un valor intermedio de sus valores absolutos dando más peso a los grandes.
En un proceso farmacéutico se exige que cada tableta contenga \(100 \) miligramos de un compuesto; se analizan \(8 \) tabletas de dos laboratorios y se calculan los errores (dosis menos \(100 \)).
En el frasco A los errores son $$-1; \; 1,5; \; 0; \; -2; \; 5; \; -2; \; -1,5; \; 0 $$: la media de sus valores absolutos es \(1,625 \), pero la media cuadrática es $$C = \sqrt{\frac{1 + 2,25 + 0 + 4 + 25 + 4 + 2,25 + 0}{8}} = 2,19 $$
En el frasco B la media de valores absolutos es \(1,75 \) y la cuadrática \(1,80 \)
El frasco A es mejor en valores absolutos, pero su error de \(5 \) miligramos, muy desviado del ideal, lo penaliza en la media cuadrática y puede constituir un peligro.
Cambios de escala.
Ante un cambio de escala con \(b > 0 \), las tres medias se transforman con la misma escala: la media armónica de \(b x \) es \(b H \), y lo mismo ocurre con \(G \) y con \(C \)
En cambio, para los cambios de origen no hay ninguna propiedad que relacione los valores antiguos con los nuevos.
Posiciones relativas de los promedios
La media, la mediana y la moda no siempre coinciden: su orden depende de la forma de la distribución.
En las distribuciones acampanadas (unimodales) asimétricas, la media aritmética se desplaza hacia el lado de la asimetría, es decir, hacia donde la cola es más larga, y la mediana queda entre la media y la moda.
En las distribuciones simétricas en forma de U, la media y la mediana coinciden en el centro.
En las distribuciones en forma de L (con la cola larga a la derecha) la relación es \(Mo < Me < \bar{x} \), y en las de forma de J (con la cola larga a la izquierda) el orden es el contrario: \(\bar{x} < Me < Mo \)
Por eso, ante datos asimétricos como las rentas o los salarios, conviene presentar la media y la mediana juntas: su comparación revela hacia dónde se inclina la distribución y si hay valores extremos que arrastran a la media.
En los salarios de una empresa con unos pocos sueldos muy altos, la distribución tiene forma de L con la cola a la derecha y se cumple \(Mo < Me < \bar{x} \): la media se desplaza hacia los sueldos extremos.
Cuándo usar cada medida
Cada medida resume los datos desde un ángulo distinto, y elegir mal puede distorsionar la conclusión.
La media aritmética utiliza todos los valores y permite operar algebraicamente con ella, por ejemplo para agregar grupos, y es la medida natural cuando la distribución es simétrica.
Su punto débil es la sensibilidad a los valores extremos: un solo dato atípico puede arrastrarla lejos de la mayoría.
Tampoco puede calcularse con variables cualitativas ni cuando hay intervalos abiertos, porque faltarían las marcas de clase.
La mediana es robusta frente a los valores extremos, ya que solo depende del orden, y es la medida adecuada en distribuciones asimétricas, como las de rentas o salarios.
Además puede calcularse aunque haya intervalos abiertos.
Su inconveniente es que desaprovecha la información del resto de los valores: dos distribuciones muy distintas pueden tener la misma mediana.
La moda es la única medida válida para variables cualitativas nominales, como el sector económico o el tipo de contrato.
Su inconveniente es que puede no existir o no ser única, y que se calcula con muy poca información de la muestra.
Los percentiles no resumen la distribución en un solo valor, sino que describen umbrales: son imprescindibles para estudiar la desigualdad, fijar límites o construir diagramas de caja.
En la práctica, ante datos económicos asimétricos se presentan la media y la mediana juntas: su comparación revela hacia dónde se inclina la distribución.
Para el precio de la vivienda en un barrio con algún chalet de lujo, la mediana describe mejor el precio «típico» que la media, que queda inflada por los valores extremos; la moda solo serviría si el carácter fuese el tipo de vivienda.
Los sueldos mensuales de los \(12 \) empleados de una empresa, en euros y ordenados de menor a mayor, son: $$1400, 1500, 1500, 1600, 1600, 1600, 1750, 1800, 1900, 2000, 2100, 15000 $$
a) Calcula la media aritmética.
b) Calcula la mediana y la moda.
c) Verifica que la suma de las desviaciones respecto a la media es cero.
d) Discute qué medida representa mejor el sueldo típico de la empresa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la media aritmética sumando todos los sueldos y dividiendo entre el número de empleados.
A continuación hallaremos la mediana con la regla de las frecuencias acumuladas y la moda contando repeticiones.
Para terminar verificaremos la primera propiedad de la media y compararemos las tres medidas para decidir cuál representa mejor el sueldo típico.
Cálculo de la media aritmética.
Primero escribimos los operandos y sumamos:
Dividimos entre \(n = 12 \):
El sueldo medio es \(2812,5 \) euros.
Cálculo de la mediana y la moda.
Las frecuencias acumuladas son \(1,3, 6,7, 8,9, 10,11, 12 \)
Como \(n = 12 \) es par, calculamos \(n/2 = 6 \): la tercera acumulada coincide exactamente con ese valor, luego cualquier número entre la sexta observación (\(1600 \)) y la séptima (\(1750 \)) es una mediana; en la práctica tomamos \(Me = 1600 \)
La moda es el valor más repetido: el \(1600 \) aparece \(3 \) veces, más que ningún otro, luego \(Mo = 1600 \)
Verificación de la primera propiedad de la media.
La propiedad afirma que \(\sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x}) = 0 \)
En lugar de calcular las \(12 \) desviaciones una a una, usamos la forma ya demostrada: la suma de desviaciones es \(\sum x_i - n \bar{x} \)
Ya conocemos el total \(33750 \) y la media \(2812,5 \); sustituimos:
Queda verificada la propiedad con los datos del ejercicio.
Discusión de qué medida es más representativa.
Comparamos: la media vale \(2812,5 \) euros, mientras que la mediana es \(1600 \) (en la práctica) y la moda \(1600 \)
La media queda arrastrada por el sueldo del directivo, de \(15000 \) euros: ningún empleado cobra una cantidad próxima a ella.
Sin el directivo, el total de los otros \(11 \) sería \(33750 - 15000 = 18750 \) y su media \(\frac{18750}{11} \approx 1704,55 \) euros, muy próxima a la mediana.
Así pues, la media es \(2812,5 \) euros, la mediana \(1600 \) y la moda \(1600 \); la suma de las desviaciones respecto a la media es cero, como exige la teoría.
El sueldo típico de la empresa queda mejor representado por la mediana: la media está distorsionada por el valor extremo del directivo, lo que ilustra su falta de robustez en distribuciones asimétricas.
Un índice de precios al consumo simplificado considera \(4 \) grupos con las siguientes ponderaciones y variaciones interanuales de precios: alimentación, peso \(30 \) y variación \(2,5 \% \); vivienda, peso \(25 \) y variación \(1,8 \% \); transporte, peso \(20 \) y variación \(4,2 \% \); ocio y cultura, peso \(25 \) y variación \(0,9 \% \)
a) Calcula la variación media ponderada de los precios.
b) Calcula la media aritmética simple de las cuatro variaciones y explica por qué difiere de la ponderada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los pesos y las variaciones de cada grupo.
A continuación aplicaremos la fórmula de la media ponderada, calculando primero cada producto de peso por variación y dividiendo después entre la suma de los pesos.
Para terminar calcularemos la media simple y compararemos ambos resultados para interpretar la diferencia.
Identificación de pesos y variaciones.
Los datos ya vienen dados como pares peso-variación: \((30,2,5), (25,1,8), (20,4,2), (25,0,9) \)
La suma de los pesos es \(30 + 25 + 20 + 25 = 100 \)
Cálculo de la media ponderada.
Escribimos la fórmula con los datos:
Operamos cada producto por separado:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$30 \cdot 2,5 $$ | $$75 $$ |
| $$25 \cdot 1,8 $$ | $$45 $$ |
| $$20 \cdot 4,2 $$ | $$84 $$ |
| $$25 \cdot 0,9 $$ | $$22,5 $$ |
Sustituimos y sumamos:
La variación media ponderada es \(2,265 \% \)
Media simple y comparación.
La media aritmética simple trata a los cuatro grupos por igual:
La media simple, \(2,35 \% \), supera a la ponderada porque otorga al transporte, el grupo con mayor subida pero con poco peso en la cesta, la misma importancia que a la alimentación.
La ponderada es la medida correcta aquí, pues refleja el gasto real de las familias.
Así pues, la subida media ponderada de los precios es del \(2,265 \% \), frente al \(2,35 \% \) de la media simple.
La diferencia muestra que ponderar es imprescindible cuando los datos no tienen la misma importancia: la media simple sobrevalora los grupos con poca presencia en la cesta de la compra.
Las tasas de paro de las \(15 \) comunidades autónomas, en porcentaje y ordenadas de menor a mayor, son: $$8,2; \; 8,9; \; 9,1; \; 9,8; \; 10,3; \; 10,7; \; 11,2; \; 11,9; \; 12,4; \; 12,8; \; 13,1; \; 13,9; \; 14,5; \; 15,2; \; 16,8 $$
a) Calcula los tres cuartiles.
b) Calcula el noveno decil.
c) Interpreta los resultados y calcula el rango intercuartílico.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la frecuencia teórica \(u \cdot n \) de cada cuantil.
A continuación tomaremos la primera observación cuya frecuencia acumulada alcanza o supera esa frecuencia teórica.
Para terminar interpretaremos cada medida como un umbral de porcentaje y hallaremos el rango intercuartílico como diferencia entre el tercer y el primer cuartil.
Cálculo de los tres cuartiles.
Con \(n = 15 \) y cada valor apareciendo una sola vez, la frecuencia acumulada de la posición \(j \) es \(j \)
Para \(Q_1 = q(0,25) \) la frecuencia teórica es \(0,25 \cdot 15 = 3,75 \): la primera acumulada que la supera es la cuarta, luego \(Q_1 = 9,8 \)
Para \(Q_2 = q(0,50) \) la frecuencia teórica es \(0,50 \cdot 15 = 7,5 \): la primera acumulada que la supera es la octava, luego \(Q_2 = 11,9 \), valor que coincide con la mediana.
Para \(Q_3 = q(0,75) \) la frecuencia teórica es \(0,75 \cdot 15 = 11,25 \): la primera acumulada que la supera es la decimosegunda, luego \(Q_3 = 13,9 \)
Cálculo del noveno decil.
El noveno decil es \(D_9 = q(0,90) \) y su frecuencia teórica es \(0,90 \cdot 15 = 13,5 \): la primera acumulada que la supera es la decimocuarta, luego \(D_9 = 15,2 \)
Interpretación y rango intercuartílico.
El \(25 \% \) de las comunidades tiene un paro igual o inferior a \(9,8 \); la mitad no supera \(11,9 \); y el \(75 \% \) queda por debajo de \(13,9 \)
Además, el \(90 \% \) de las comunidades tiene un paro igual o inferior a \(15,2 \): solo una de cada diez supera ese umbral.
El rango intercuartílico, que mide la dispersión del \(50 \% \) central, es:
La mitad central de las comunidades se mueve en una banda de \(4,1 \) puntos de paro.
Así pues, \(Q_1 = 9,8 \), \(Q_2 = 11,9 \), \(Q_3 = 13,9 \) y \(D_9 = 15,2 \)
Los cuartiles dividen a las comunidades en cuatro grupos del \(25 \% \) según su tasa de paro, y el noveno decil marca el umbral que solo supera el \(10 \% \) con más desempleo.