1.3 Medidas de dispersión: varianza, desviación típica y coeficiente de variación
Las medidas de dispersión cuantifican lo separados que están los datos entre sí y complementan a las medidas de centralización.
La media resume un conjunto de datos en un solo valor, pero dos distribuciones con la misma media pueden ser muy distintas.
Considera las notas de dos grupos de tres estudiantes.
El grupo A obtiene \(4,5, 6 \)
El grupo B obtiene \(0,5, 10 \)
La media de A es \(\bar{x}_A = \frac{4 + 5 + 6}{3} = 5 \)
La media de B es \(\bar{x}_B = \frac{0 + 5 + 10}{3} = 5 \)
Ambas medias coinciden, pero en el grupo B los datos están mucho más separados que en el A.
Hace falta, por tanto, medir esa separación: ese es el papel de las medidas de dispersión.
Además, cuando se calcula un promedio conviene acompañarlo de una medida de dispersión que cuantifique hasta qué punto ese promedio representa bien a toda la distribución.
El rango y el recorrido intercuartílico
La más simple es el rango, también llamado recorrido.
Mide la amplitud total de los datos, es decir, la distancia entre el valor más grande y el más pequeño.
Llamando \(x_{máx} \) al dato mayor y \(x_{mín} \) al menor, el rango es la diferencia entre ambos.
El rango es una medida no negativa, se expresa en las unidades de la variable y se anula solo cuando todos los valores son iguales; en ese caso se dice que la variable es degenerada, pues no hay dispersión.
Con las notas \(4,5, 6,7, 9 \)
El dato mayor es \(9 \) y el menor \(4 \)
El rango vale \(R = 9 - 4 = 5 \)
El rango solo utiliza dos datos, así que un valor atípico lo distorsiona por completo.
Para evitar la influencia de los valores extremos se recurre a los cuartiles.
Ordenados los datos de menor a mayor, el primer cuartil \(Q_1 \) es el valor que deja por debajo al \(25 \) por ciento de los datos, y el tercer cuartil \(Q_3 \) el que deja por debajo al \(75 \) por ciento.
El recorrido intercuartílico mide la amplitud del \(50 \) por ciento central de los datos, es decir, el rango de ese 50% central, cuyas observaciones no son anómalas.
Como ignora el \(25 \) por ciento inferior y el \(25 \) por ciento superior, es robusto frente a valores atípicos; a cambio, solo informa de la variabilidad de los valores centrales.
Con los datos ya ordenados \(3,5, 7,9, 11,13, 15 \)
Con \(n = 7 \) datos, el primer cuartil ocupa la segunda posición y el tercero la sexta.
Es decir, \(Q_1 = 5 \) y \(Q_3 = 13 \)
El recorrido intercuartílico vale \(RQ = 13 - 5 = 8 \)
Con la misma idea, excluyendo otros porcentajes de observaciones extremas, se definen el recorrido interdecílico \(RD = D_9 - D_1 \) y el recorrido intercentílico \(RP = P_{99} - P_1 \)
El coeficiente de apertura y el recorrido semi-intercuartílico
La variabilidad se aprecia mejor en términos relativos que en términos absolutos.
Por ejemplo, una diferencia de \(50 \) kilos entre el perro más grande y el más pequeño de una exposición canina es mucho peso frente a lo que pesa un perro, mientras que \(500 \) kilos de diferencia entre dos elefantes adultos es poco frente a lo que pesa un elefante: el peso de los elefantes es más homogéneo.
Por eso, además de las medidas absolutas anteriores, se construyen medidas relativas de dispersión.
El coeficiente de apertura, también llamado coeficiente de disparidad, es el cociente entre los dos valores extremos de la distribución.
Se usa para variables positivas, es mayor o igual que uno, y vale uno cuando no hay dispersión, es decir, cuando la variable toma un único valor.
Adolece de los mismos problemas que el rango, pues solo depende de los dos valores extremos.
Con los pesos de recién nacidos que usa el Tema 3, cuyo mínimo es \(2,4 \) kilos y cuyo máximo es \(4,5 \) kilos.
El peso mayor supera en un \(87,5 \) por ciento al menor, aunque este coeficiente no informa acerca de los pesos intermedios.
El recorrido semi-intercuartílico relativiza el recorrido intercuartílico dividiéndolo por la suma de los cuartiles.
Se usa para variables no negativas y es no negativo.
Si \(RS = 0 \), entonces \(Q_3 = Q_1 \), es decir, el \(50 \) por ciento central de los datos no presenta dispersión.
Con los mismos pesos de recién nacidos, \(Q_1 = 3,02 \) y \(Q_3 = 3,74 \) kilos.
Da una cierta idea, aunque poco precisa, de la variabilidad de los valores centrales.
Todas estas medidas son más bien poco eficientes, pues no hacen referencia a todos los datos; las que sí lo hacen son la desviación típica y el coeficiente de variación de Pearson.
La desviación media
Una idea natural es medir cuánto se aparta cada dato de la media y promediar esas distancias.
La desviación de cada dato respecto de la media es \(x_i - \bar{x} \)
Pero las desviaciones positivas y negativas se compensan, y su suma siempre vale cero.
En efecto, $$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} $$
Y como \(\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{x} \), se obtiene
Para evitar la compensación se toma el valor absoluto de cada desviación y se promedia el resultado.
Es la desviación absoluta media respecto a la media, una medida de dispersión absoluta expresada en las mismas unidades que la variable, que cuantifica la representatividad de \(\bar{x} \) como promedio: no es más que la distancia media de los valores a \(\bar{x} \)
Con los datos \(4,5, 6 \), cuya media es \(\bar{x} = 5 \)
Las desviaciones en valor absoluto son \(1,0, 1 \), pues \(|4 - 5| = 1 \), \(|5 - 5| = 0 \) y \(|6 - 5| = 1 \)
La desviación media vale $$D_x = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67 $$
La desviación media se usa poco, porque el valor absoluto no es derivable en cero y eso dificulta su tratamiento matemático.
En lugar del valor absoluto, la estadística eleva las desviaciones al cuadrado.
El cuadrado también evita la compensación de signos, penaliza más las desviaciones grandes que las pequeñas y, a diferencia del valor absoluto, es derivable en todas partes.
Esto permite optimizar, descomponer la variabilidad en sumas de cuadrados y construir sobre ella la inferencia estadística.
También se puede promediar el valor absoluto de las desviaciones respecto a la mediana.
Está medida alcanza su valor mínimo cuando la referencia es la mediana:
para cualquier constante \(c \),
Además, siempre se cumple la desigualdad
Con los datos \(2,5, 9 \)
La mediana es \(Me = 5 \) y la media $$\bar{x} = \frac{2 + 5 + 9}{3} = \frac{16}{3} \approx 5,33 $$
Se comprueba la desigualdad: \(2,33 \le 2,44 \)
La varianza
La varianza de una población de \(N \) datos con media \(\mu \) es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada observación respecto a la media aritmética.
La varianza se construye en torno a la media y por tanto cuantifica su representatividad como promedio.
Nótese que la varianza destaca y penaliza las desviaciones más importantes respecto a la media, puesto que las eleva al cuadrado, cosa que es bastante conveniente.
Desarrollando el cuadrado se obtiene una fórmula mucho más cómoda para calcular.
En efecto, \((x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2 \)
Sumando a los \(N \) datos de la población:
Como la media poblacional cumple \(\sum_{i=1}^{N} x_i = N\mu \), al sustituir queda
Dividiendo por \(N \) se llega a la fórmula desarrollada de la varianza.
Es decir, la varianza es la media aritmética de los cuadrados de las observaciones menos el cuadrado de la media aritmética original.
Téngase presente que no es lo mismo elevar primero los datos al cuadrado y luego promediar que promediar antes y luego elevar al cuadrado, y que la diferencia entre esos dos valores numéricos es precisamente la varianza.
Esta fórmula suele ser más sencilla de aplicar que la definición si los cálculos se hacen en papel, pues en ella no hay que restar cada vez la media aritmética a las observaciones.
En la práctica casi nunca se observa la población completa, sino solo una muestra de \(n \) datos.
La media poblacional \(\mu \) se sustituye entonces por la media muestral \(\bar{x} \)
Pero la media muestral es precisamente el valor que minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado.
En efecto, la derivada respecto de \(c \) de \(f(c) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 \) es:
Igualando a cero, \(\sum_{i=1}^{n} (x_i - c) = 0 \), de donde \(c = \bar{x} \)
Esta propiedad de minimización, conocida como teorema de König, se escribe
$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2 $$,
y muestra que, si \(c \) no es la media, la suma aumenta en \(n(\bar{x} - c)^2 \)
Por tanto las desviaciones respecto de \(\bar{x} \) son sistemáticamente menores que respecto de la verdadera media \(\mu \), y dividir por \(n \) infravaloraría la varianza.
La corrección de Bessel divide por \(n - 1 \) en lugar de por \(n \). A la varianza así calculada se le añade el subíndice \(c \) y se le llama cuasivarianza o varianza insesgada.
Con este divisor el estimador es insesgado, es decir, en promedio coincide con la varianza poblacional.
Intuitivamente, uno de los \(n \) grados de libertad se consume al estimar la media, y solo quedan \(n - 1 \) libres para medir la dispersión.
El mismo desarrollo anterior con \(\bar{x} \) en lugar de \(\mu \) da la fórmula desarrollada muestral.
La cuasivarianza se obtiene multiplicando la varianza muestral por n/(n-1):
Las siguientes propiedades de la varianza son de la mayor importancia.
Primera: la varianza siempre es no negativa, y solo vale cero cuando todas las desviaciones de los valores respecto a la media son nulas, cosa que sucede única y exclusivamente cuando todos los valores de la distribución son el mismo, es decir, cuando la variable es degenerada.
Basta observar que la varianza es una suma de cuadrados, y que esa suma será cero única y exclusivamente si cada término de la suma es nulo.
Segunda:
si a todos los valores de la distribución se les suma o resta una constante \(a \), la varianza no se modifica.
En efecto, si \(Y = a + X \), las frecuencias de los valores \(x_i \) y de sus transformados \(y_i = a + x_i \) son las mismas, y la relación entre las medias es \(\bar{y} = a + \bar{x} \)
Entonces $$(y_i - \bar{y}) = (a + x_i - a - \bar{x}) = (x_i - \bar{x}) $$, las desviaciones son las mismas en ambos casos y \(\sigma_Y^2 = \sigma_X^2 \)
Los valores de \(Y \) están desplazados sobre la recta respecto a los de \(X \), pero la dispersión absoluta en torno a la media no ha cambiado.
Tercera:
si todos los valores de la distribución se multiplican o dividen por una constante \(b \), la varianza queda multiplicada o dividida por \(b^2 \), y la desviación típica queda multiplicada o dividida por el valor absoluto de \(b \)
En efecto, si \(Y = bX \), entonces \((y_i - \bar{y})^2 = b^2(x_i - \bar{x})^2 \)
Nótese que si \(b < 0 \) la desviación típica no puede ser sin más la que resulte de multiplicar o dividir por \(b \) la anterior desviación típica, ya que entonces se obtendría un valor negativo.
Las dos últimas propiedades indican que la varianza y la desviación típica son sensibles a los cambios de escala, pero son invariantes a los cambios de origen, y se pueden resumir así:
si \(Y = a + bX \) entonces \(\sigma_Y^2 = b^2\sigma_X^2 \) y \(\sigma_Y = |b|\sigma_X \)
Tratando \(4,5, 6 \) como población, con media \(\mu = 5 \)
Con la definición: $$\sigma^2 = \frac{(4-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67 $$
Con la fórmula desarrollada: $$\sigma^2 = \frac{16 + 25 + 36}{3} - 5^2 = \frac{77}{3} - 25 = \frac{2}{3} $$
La varianza queda en unidades al cuadrado:
si \(x \) se mide en euros, \((x_i - \bar{x})^2 \) queda en euros al cuadrado.
La desviación típica
Para recuperar las unidades originales se toma su raíz cuadrada positiva, que es la desviación típica o desviación estándar.
\(s_c = \sqrt{s_c^2} \) en la muestra, y \(\sigma = \sqrt{\sigma^2} \) en la población.
La desviación típica se interpreta como la distancia típica de los datos a la media, expresada en las mismas unidades que los datos.
De hecho, la desviación típica es la media cuadrática de las desviaciones \(x_i - \bar{x} \)
Con la varianza \(\frac{2}{3} \) del ejemplo anterior, \(\sigma = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,82 \)
El coeficiente de variación
La desviación típica depende de la escala: una dispersión de \(10 \) euros no significa lo mismo si la media es \(100 \) que si es \(1000 \)
Para comparar dispersiones de variables con distintas unidades o con medias muy dispares se relativiza la desviación típica dividiéndola por la media.
El coeficiente de variación de Pearson es ese cociente.
\(CV = \frac{s}{\bar{x}} \), a menudo expresado en tanto por ciento.
Este es el coeficiente de variación de Pearson.
Existen otros coeficientes de variación, pero en la asignatura de Estadística de la Universidad de Sevilla no se estudian.
Es la medida de dispersión relativa más empleada: indica la proporción que representa la desviación típica al compararla con la media.
Es adimensional, porque \(s \) y \(\bar{x} \) se miden en las mismas unidades y estas se cancelan en el cociente.
Por eso permite comparar la dispersión relativa de variables medidas en unidades distintas.
Solo tiene sentido con medias positivas y variables de escala de razón, donde el cero es absoluto y los cocientes son interpretables.
Nótese que el coeficiente no está definido si la media aritmética es nula.
Además, el coeficiente de variación se utiliza para evaluar la representatividad de la media: cuanto menor es, más representativa es la media.
La variable A tiene \(\bar{x}_A = 100 \) y \(s_A = 10 \), mientras que la variable B tiene \(\bar{x}_B = 50 \) y \(s_B = 8 \)
Los coeficientes valen \(CV_A = \frac{10}{100} = 0,10 \) y \(CV_B = \frac{8}{50} = 0,16 \)
En tanto por ciento, \(10 \) por ciento frente a \(16 \) por ciento.
Aunque la desviación típica de B es menor, B es relativamente más dispersa que A.
El coeficiente de variación es invariante frente a cambios de escala:
si a \(X \) se le aplica un cambio de escala, la nueva variable es \(Y = bX \) con \(b > 0 \), y su coeficiente de variación queda
En cambio, no es invariante frente a cambios de origen:
si \(Y = X + a \) entonces
$$CV_Y = \frac{\sigma_Y}{\bar{y}} = \frac{\sigma_X}{\bar{x} + a} = \frac{\bar{x}}{\bar{x} + a}CV_X $$,
y \(CV_Y \) no vale lo mismo que \(CV_X \)
De hecho, siendo \(\bar{x} > 0 \) y \(\bar{x} + a > 0 \), se tiene que \(CV_Y < CV_X \) si \(a > 0 \), y \(CV_Y > CV_X \) si \(a < 0 \)
La tipificación
Dada una variable \(X \), sus valores tipificados son los que se obtienen restándoles la media de la distribución y dividiendo por la desviación típica.
Es decir, la tipificación de \(X \) es la variable
\(Z = \frac{X - \bar{x}}{s} \),
y cada valor tipificado es \(z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s} \)
La variable obtenida al tipificar tiene media cero y desviación típica uno.
En efecto, su media vale \(\bar{z} = \frac{\bar{x} - \bar{x}}{s} = 0 \), y por la propiedad de los cambios de escala su varianza es \(s_Z^2 = \frac{1}{s^2}s_X^2 = 1 \)
La tipificación es útil porque consiste en un cambio de origen y escala que hace más homogéneas dos distribuciones que inicialmente pueden ser muy diferentes: ambas pasan a tener la misma media cero, la misma desviación típica uno y no tienen unidades, lo que permite comparar la posición de dos elementos en cada una de las poblaciones respectivas.
Un alumno saca un 7 en Matemáticas (\(\bar{x} = 5,5 \), \(s = 1,5 \)) y un 8 en Lengua (\(\bar{x} = 7 \), \(s = 1 \)): tipificando, \(z_M = \frac{7 - 5,5}{1,5} = 1 \) y \(z_L = \frac{8 - 7}{1} = 1 \), luego su posición relativa es la misma en ambas asignaturas.
Enunciado: Dos fondos de inversión han obtenido estas rentabilidades anuales en tanto por ciento durante los últimos cinco años.
Fondo A: \(4,6, 5,5, 5 \)
Fondo B: \(1,9, 2,8, 5 \)
¿Qué fondo es más recomendable para un inversor que busca estabilidad?
Explicación: Primero se resume cada fondo con su media; como las medias coinciden, la decisión depende de la dispersión, que se cuantifica con la varianza muestral y se compara en términos relativos con el coeficiente de variación.
Se calculan las medias.
Las medias coinciden, así que la media no basta para decidir.
Se calcula la varianza muestral con la fórmula desarrollada.
Para el fondo A, \(\sum x_i^2 = 16 + 36 + 25 + 25 + 25 = 127 \)
Para el fondo B, \(\sum x_i^2 = 1 + 81 + 4 + 64 + 25 = 175 \)
Se comparan las dispersiones relativas con el coeficiente de variación.
Conclusión: El fondo A es mucho más estable, con una dispersión relativa del \(14 \) por ciento frente al \(71 \) por ciento del fondo B.
Un inversor que busque estabilidad elegirá el fondo A.
Enunciado: En una clase de Matemáticas las notas tienen media \(7,10 \) y desviación típica \(1,84 \), mientras que en una clase de Economía la media es \(6,23 \) con desviación típica \(1,84 \)
Un alumno obtiene un \(7 \) en Matemáticas y un \(6,5 \) en Economía.
¿En qué asignatura está rindiendo mejor en comparación con sus compañeros?
Explicación: El alumno tiene calificación más alta en Matemáticas, pero esa asignatura parece más fácil;
para comparar su posición relativa en cada clase se tipifican ambas calificaciones.
Se tipifica la nota de Matemáticas.
Se tipifica la nota de Economía.
Conclusión: El alumno está mejor colocado en Economía que en Matemáticas, a pesar de que su nota en Economía es menor.
En Matemáticas está incluso por debajo de la calificación media, mientras que en Economía está por encima.
Enunciado: De una muestra de \(40 \) empresas se conocen la suma de sus beneficios anuales, en miles de euros, \(\sum x_i = 800 \), y la suma de sus cuadrados, \(\sum x_i^2 = 17500 \)
Calcula la media, la varianza muestral, la desviación típica y el coeficiente de variación, e interpreta si la media es representativa.
Explicación: Sin los datos individuales, la fórmula desarrollada de la varianza muestral trabaja directamente con los dos sumatorios; la desviación típica devuelve las unidades originales y el coeficiente de variación juzga la representatividad de la media.
Se calcula la media.
\(\bar{x} = \frac{800}{40} = 20 \) miles de euros.
Se calcula la varianza muestral con la fórmula desarrollada.
Los operandos son \(\sum x_i^2 = 17500 \), \(n = 40 \) y \(\bar{x} = 20 \)
Se hallan la desviación típica y el coeficiente de variación.
\(s_c = \sqrt{38,46} \approx 6,20 \) miles de euros.
\(CV = \frac{6,20}{20} = 0,31 \), es decir, un \(31 \) por ciento.
Conclusión: La dispersión relativa del \(31 \) por ciento es apreciable, así que la media de \(20 \) miles de euros resume los beneficios solo de forma aproximada: los valores típicos se separan unos \(6,20 \) miles de euros de ella.