1.1 Derivadas elementales y reglas de derivación
La tasa de variación media y la derivada en un punto
Una función \(f \) definida en un intervalo asocia a cada número \(x \) un valor \(f(x) \)
Para medir cómo cambia \(f \) entre dos puntos \(x_0 \) y \(x \) se utiliza la tasa de variación media.
La tasa de variación media de \(f \) entre \(x_0 \) y \(x \) es el cociente
Geométricamente, esta tasa es la pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por los puntos \((x_0, f(x_0)) \) y \((x, f(x)) \)
Si \(\alpha \) es el ángulo que forma la recta secante con la horizontal, entonces \(TVM = \tan \alpha \)
Cuando \(x \) se acerca a \(x_0 \), la recta secante tiende a la recta tangente a la gráfica en ese punto.
La derivada de \(f \) en \(x_0 \) es el límite de las tasas de variación media cuando \(x \) tiende a \(x_0 \):
siempre que este límite exista y sea finito.
Con el cambio de variable \(h = x - x_0 \) la definición se escribe también así:
La interpretación geométrica es la siguiente: \(f'(x_0) \) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f \) en el punto \((x_0, f(x_0)) \)
Si \(\alpha \) es el ángulo que forma la recta tangente con la horizontal, entonces \(f'(x_0) = \tan \alpha \): la derivada en un punto es la tangente del ángulo que forma la recta tangente con la horizontal.
La ecuación de esa recta tangente es:
Se dice que \(f \) es derivable en \(x_0 \) cuando existe el número \(f'(x_0) \)
Para la función \(f(x) = x^2 \), la derivada en \(x_0 = 1 \) se calcula con la definición:
Con el cambio \(h = x - 1 \):
$$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} \\ = \lim_{h \to 0} (2 + h) \\ = 2 $$
La recta tangente a la parábola en el punto \((1, 1) \) tiene pendiente \(2 \)
La función derivada $$f'$$ y las derivadas sucesivas
Si \(f \) es derivable en todos los puntos de un intervalo \(I \), queda definida la función derivada \(f' \), que a cada \(x \) de \(I \) le asocia el número \(f'(x) \)
La derivada de la función \(f' \), cuando existe, se llama derivada segunda de \(f \) y se denota \(f'' \)
Derivando sucesivamente se obtienen la derivada tercera \(f''' \), la derivada cuarta \(f^{(4)} \) y, en general, la derivada n-ésima \(f^{(n)} \)
Si se escribe \(y = f(x) \), también se usan las notaciones \(y' \), \(y'' \), \(y''' \)
Las derivadas sucesivas miden cómo varía la propia pendiente: la segunda derivada informa de la curvatura de la gráfica.
Para \(f(x) = x^3 \) se obtiene derivando término a término:
Derivadas de las funciones elementales
Aplicando la definición de derivada a las funciones básicas se obtiene la tabla de derivadas elementales, que es la herramienta de cálculo fundamental de todo el capítulo.
La derivada de una función constante es cero:
si \(f(x) = c \) con \(c \) constante, entonces \(f'(x) = 0 \) para todo \(x \)
Las derivadas elementales son las siguientes, válidas en el dominio que se indica en cada caso:
La fórmula \((x^n)' = n x^{n-1} \) es válida en cada punto donde \(x^n \) sea derivable.
Por ejemplo, \(x^{1/2} = \sqrt{x} \) está definida para todo \(x \geq 0 \), pero su derivada solo está definida para \(x > 0 \)
La función \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \) está definida para \(x > 0 \) y su derivada es:
Derivada de la suma, la diferencia y el producto por constante
Si las funciones \(f \) y \(g \) son derivables en \(x \) y \(c \) es una constante, entonces las funciones \(f + g \), \(f - g \) y \(c f \) son derivables en \(x \) y se cumple
La idea de la demostración es que el límite de una suma es la suma de los límites: al formar el cociente incremental de \(f + g \) se separa en la suma de los dos cocientes incrementales.
En la práctica, estas reglas permiten derivar cualquier polinomio término a término.
Para \(f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \):
Derivada del producto y del cociente
Si \(f \) y \(g \) son derivables en \(x \), entonces el producto \(f \cdot g \) es derivable en \(x \) y
Si \(f \) y \(g \) son derivables en \(x \) y \(g(x) \ne 0 \), entonces el cociente \(f / g \) es derivable en \(x \) y
Obsérvese el orden en el numerador del cociente: primero la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador.
Para \(f(x) = x^2 \operatorname{sen} x \) se aplica la regla del producto:
La regla de la cadena
Dadas dos funciones \(f \) y \(g \), la función compuesta \(g \circ f \) se define mediante \((g \circ f)(x) = g(f(x)) \): primero actúa \(f \) y después \(g \) sobre el resultado.
Si \(f \) es derivable en \(x \) y \(g \) es derivable en el punto \(f(x) \), entonces la compuesta \(g \circ f \) es derivable en \(x \) y
La regla práctica es: se deriva la función exterior evaluada en la interior y se multiplica por la derivada de la interior.
Combinada con la tabla del apartado 3, la regla de la cadena da las derivadas de las funciones elementales compuestas:
El proceso puede iterarse: una composición triple se deriva aplicando la regla dos veces, de fuera hacia dentro.
En \(f(x) = \operatorname{sen}(x^2) \) la función exterior es el seno y la interior es \(x^2 \):
Derivabilidad y continuidad
Si \(f \) es derivable en \(x_0 \), entonces \(f \) es continua en \(x_0 \)
La idea de la demostración es escribir, para \(x \ne x_0 \),
Al tomar límite cuando \(x \to x_0 \), el primer factor tiende a \(f'(x_0) \) y el segundo tiende a \(0 \), luego \(f(x) - f(x_0) \to 0 \), es decir, \(f \) es continua en \(x_0 \)
El recíproco es falso: una función puede ser continua en un punto sin ser derivable en él.
Las derivadas laterales en \(x_0 \) se definen con límites laterales:
Una función es derivable en \(x_0 \) si y solo si existen las dos derivadas laterales y coinciden.
Si las derivadas laterales existen pero son distintas, la gráfica presenta un punto anguloso (un pico).
La función \(f(x) = |x| \) es continua en \(0 \), pero sus derivadas laterales son:
Como no coinciden, \(f \) no es derivable en \(0 \)
La diferencial
Si \(f \) es derivable en \(x \), la diferencial de \(f \) en \(x \) es la aplicación lineal que a cada incremento \(h \) le asigna el número \(f'(x) \cdot h \):
Con la notación habitual \(dy \) para el incremento de la variable dependiente y \(dx \) para el incremento de la variable independiente (es decir, \(dx = h \)), la diferencial se escribe
La diferencial proporciona la aproximación lineal del incremento real de la función:
si \(\Delta y = f(x+h) - f(x) \) es el incremento exacto al pasar de \(x \) a \(x+h \), entonces
\(\Delta y = f'(x)h + o(h) \),
de modo que el error cometido al sustituir \(\Delta y \) por la diferencial \(dy = f'(x)h \) tiende a cero más rápido que \(h \). Geométricamente, la diferencial es el incremento medido sobre la recta tangente a la gráfica en el punto \((x, f(x)) \), mientras que \(\Delta y \) es el incremento medido sobre la propia curva.
Dividiendo por \(y = f(x) \) (supuesto no nulo) se aproxima la variación relativa:
Como \(\frac{f'(x)}{f(x)} \) es la derivada de \(\ln|f(x)| \), la variación relativa se aproxima por la diferencial logarítmica \(d(\ln|f(x)|) \). En la práctica, esta aproximación sirve para estimar errores relativos: un pequeño error relativo \(dx/x \) en la medida de \(x \) produce en \(f(x) \) un error relativo aproximadamente igual a \(\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \)
Aproximar \(\sqrt{4,02} \) mediante la diferencial de \(f(x) = \sqrt{x} \) en \(x = 4 \) tomando \(h = 0,02 \)
Se tiene \(f(4) = \sqrt{4} = 2 \) y, por la tabla de derivadas, \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), luego \(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \)
La diferencial en \(x = 4 \) para el incremento \(h = 0,02 \) vale
Por tanto
(Comprobación: \(2,005^2 = 4,020025 \), muy próximo a \(4,02 \).)
Calcular, aplicando la definición de derivada, la derivada de la función \(f(x) = \sqrt{x} \) en un punto \(x > 0 \) arbitrario.
Explicación: Como se pide usar la definición, se forma el cociente incremental y se calcula su límite cuando \(h \to 0 \). La indeterminación que aparece se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada.
Se escribe el cociente incremental de \(f \) en \(x \)
Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado \(\sqrt{x + h} + \sqrt{x} \)
Se toma el límite cuando \(h \to 0 \)
Conclusión: La función raíz cuadrada es derivable en todo \(x > 0 \) y su derivada es \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), en coherencia con la tabla de derivadas elementales.
Calcular la derivada de la función \(f(x) = x^x \) definida para \(x > 0 \)
Explicación: Ninguna regla directa se aplica a una potencia donde la base y el exponente dependen de \(x \). Como \(f(x) > 0 \), se puede tomar logaritmos neperianos en ambos miembros: la composición con el logaritmo convierte la potencia en un producto, que sí se sabe derivar.
Esta técnica se llama derivación logarítmica.
Se aplica el logaritmo neperiano a ambos miembros y se usa la propiedad \(\ln(a^b) = b \ln a \)
Se deriva en ambos miembros respecto de \(x \). En el primer miembro se usa la regla de la cadena con la función exterior \(\ln \); en
el segundo, la regla del producto.
Se despeja \(f'(x) \) multiplicando por \(f(x) = x^x \)
Conclusión: La función \(f(x) = x^x \) es derivable en \((0, +\infty) \) y su derivada es \(f'(x) = x^x(\ln x + 1) \)
Estudiar la derivabilidad en todo \(\mathbb{R} \) de la función definida por $$f(x) = x^2 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) $$ si \(x \ne 0 \), e \(f(0) = 0 \)
Explicación:
Para \(x \ne 0 \) la función es combinación de funciones elementales y se deriva con las reglas.
En \(x = 0 \) la definición es especial (un valor aislado), así que las reglas no son aplicables y hay que volver a la definición de derivada.
Derivada para \(x \ne 0 \), con la regla del producto y la regla de la cadena.
Derivada en \(x = 0 \) por definición.
Como $$\left|h \operatorname{sen}(1/h)\right| \le |h| $$ y \(|h| \to 0 \), por el teorema del encaje el límite es \(0 \)
Luego \(f'(0) = 0 \)
Conclusión: La función es derivable en todo \(\mathbb{R} \). Obsérvese que la derivada \(f' \) no es continua en \(0 \), porque \(\cos(1/x) \) oscila sin tender a ningún límite: la derivabilidad no implica que la derivada sea continua.