Monotonía, extremos locales y concavidad

Question

1. Funciones monótonas: definiciones Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$ Se dice que $f$ es creciente en $I$ si para cualesquiera $x_1, x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ se cumple $f(x_1) \le f(x_2)$ Se dice que $f$ es estrictamente creciente en $I$ si $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) < f(x_2)$ Se dice que $f$ es decreciente en $I$ si $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) \ge f(x_2)$, y estrictamente decreciente si la desigualdad es estricta: $f(x_1) > f(x_2)$ Una función es monótona en $I$ cuando es creciente o decreciente en $I$, y estrictamente monótona cuando lo es en sentido estricto. La monotonía es una propiedad relativa a un intervalo: una misma función puede crecer en un intervalo y decrecer en otro. Ejemplo: La función $f(x) = x^2$ es estrictamente decreciente en $(-\infty, 0]$ y estrictamente creciente en $[0, +\infty)$, pero no es monótona en todo $\mathbb{R}$ 2. El teorema del valor medio y el criterio de monotonía Teorema (del valor medio): Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe algún punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Geométricamente, existe un punto donde la recta tangente es paralela a la recta secante que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ [GRAPH: x^2; 2*x; 2*x-1 | -0.5, 2.5 | label:"y=f(x)",0,1.8,4.5; label:"secante",0,0.5,1.2; label:"tangente",0,1.5,2.2] Teorema (criterio de monotonía): Si $f$ es continua en un intervalo $I$ y derivable en su interior, entonces si $f'(x) > 0$ para todo $x$ interior a $I$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$; si $f'(x) < 0$, entonces $f$ es estrictamente decreciente en $I$; si $f'(x) = 0$, entonces $f$ es constante en $I$ La idea de la demostración es aplicar el teorema del valor medio a dos puntos $x_1 < x_2$ de $I$: existe $c$ entre ellos con $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$, y el signo del segundo miembro lo decide el signo de $f'(c)$ En la práctica, los intervalos de monotonía se obtienen estudiando el signo de $f'$: donde es positiva la función crece y donde es negativa decrece. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x$ se tiene $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ Como $f'(x) > 0$ cuando $|x| > 1$ y $f'(x) < 0$ cuando $|x| < 1$, la función es estrictamente creciente en $(-\infty, -1]$ y en $[1, +\infty)$, y estrictamente decreciente en $[-1, 1]$ 3. Extremos locales: definición y condición necesaria Sea $f$ una función definida en un intervalo y sea $c$ un punto interior. Se dice que $f$ tiene un máximo local (o relativo) en $c$ si existe un entorno de $c$ tal que $f(c) \ge f(x)$ para todo $x$ de ese entorno. Se dice que $f$ tiene un mínimo local (o relativo) en $c$ si existe un entorno de $c$ tal que $f(c) \le f(x)$ para todo $x$ de ese entorno. Los máximos y mínimos locales se llaman, genéricamente, extremos locales. Teorema (de Fermat: condición necesaria de extremo local): Si $f$ tiene un extremo local en el punto interior $c$ y $f$ es derivable en $c$, entonces $f'(c) = 0$ La idea de la demostración para un máximo local es la siguiente: si $h > 0$ es pequeño, $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0$, y si $h < 0$ el cociente es mayor o igual que cero; al tomar límites se obtiene $f'(c) \le 0$ y $f'(c) \ge 0$, luego $f'(c) = 0$ La condición es necesaria pero no suficiente: que la derivada se anule no garantiza que haya un extremo. Ejemplo: La función $f(x) = x^3$ cumple $f'(0) = 0$, pero $0$ no es un extremo local, porque la función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ 4. Puntos críticos y el criterio de la primera derivada Sea $f$ continua en un punto $c$ Se dice que $c$ es un punto crítico de $f$ si $f'(c) = 0$ o si $f'$ no existe en $c$ Por el teorema de Fermat, todo extremo local interior es un punto crítico; por tanto, los puntos críticos son los candidatos a extremos locales. Que un punto sea crítico no garantiza que sea un extremo: hay que clasificarlo estudiando el signo de $f'$ a su alrededor. Teorema (criterio de la primera derivada): Si $f$ es continua en $c$, derivable en un entorno reducido de $c$, entonces si $f'$ cambia de positiva a negativa al pasar por $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$; si cambia de negativa a positiva, tiene un mínimo local en $c$; si no cambia de signo, no hay extremo local en $c$ La justificación es inmediata a partir del criterio de monotonía: en el primer caso la función crece hasta $c$ y decrece después. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x$ los puntos críticos son $x = -1$ y $x = 1$ Como $f'$ pasa de positiva a negativa en $x = -1$, hay un máximo local con valor $f(-1) = 2$ Como $f'$ pasa de negativa a positiva en $x = 1$, hay un mínimo local con valor $f(1) = -2$ 5. El criterio de la segunda derivada Cuando se dispone de la derivada segunda, la clasificación de un punto crítico con derivada nula puede hacerse sin estudiar el signo de $f'$ en un entorno. Teorema (criterio de la segunda derivada): Si $f'(c) = 0$ y existe $f''(c)$, entonces si $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$; si $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$; si $f''(c) = 0$, el criterio no decide y hay que usar el de la primera derivada. La idea es que $f''(c) > 0$ significa que $f'$ es creciente cerca de $c$; como $f'(c) = 0$, resulta $f' < 0$ a la izquierda y $f' > 0$ a la derecha, que es la configuración de un mínimo según el criterio anterior. Ejemplo: Para $f(x) = x^4$ el único punto crítico es $x = 0$ y $f''(0) = 0$, así que el criterio de la segunda derivada no decide. El criterio de la primera derivada sí: $f'(x) = 4x^3$ cambia de negativa a positiva en $0$, luego hay un mínimo local en $0$ con valor $0$ 6. Concavidad y convexidad Además de saber si una función crece o decrece, interesa saber cómo lo hace: si su pendiente aumenta o disminuye. Definición geométrica: $f$ es convexa en un intervalo abierto $I$ si para cada par $a, b \in I$ el segmento que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ queda por encima de la gráfica, es decir, $f(ta + (1-t)b) \le t f(a) + (1-t) f(b)$ para todo $t \in [0, 1]$ Se dice que $f$ es cóncava en $I$ si el segmento queda por debajo de la gráfica, es decir, con la desigualdad en sentido contrario. Para recordar la terminología: $x^2$ es convexa (tiene forma de sonrisa) y $-x^2$ es cóncava. Una función es cóncava en $I$ si y solo si $-f$ es convexa en $I$ Teorema (criterio de la derivada segunda para la curvatura): Si $f$ es dos veces derivable en un intervalo abierto $I$, entonces si $f''(x) \ge 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es convexa en $I$; si $f''(x) \le 0$, entonces $f$ es cóncava en $I$ En la práctica, los intervalos de concavidad y convexidad se obtienen estudiando el signo de $f''$ Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x + 1$ se tiene $f''(x) = 6x$ La función es convexa para $x > 0$, donde $f''(x) > 0$, y cóncava para $x < 0$, donde $f''(x) < 0$ 7. Puntos de inflexión Un punto $c$ es un punto de inflexión de $f$ si $f$ es continua en $c$ y la curvatura cambia en $c$: la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Geométricamente, en un punto de inflexión la recta tangente atraviesa la gráfica. Condición necesaria: si $f$ tiene un punto de inflexión en $c$ y existe $f''(c)$, entonces $f''(c) = 0$ La condición no es suficiente: los candidatos a puntos de inflexión son los puntos donde $f''$ se anula o no existe, pero hay que comprobar que $f''$ cambia efectivamente de signo. Si $f''$ no existe en $c$ también puede haber inflexión, como en una tangente vertical. Ejemplo: La función $f(x) = x^3$ tiene un punto de inflexión en $x = 0$, porque $f''(x) = 6x$ cambia de negativa a positiva y la tangente $y = 0$ atraviesa la gráfica. En cambio, para $g(x) = x^4$ se tiene $g''(0) = 0$ pero $g''(x) = 12x^2 \ge 0$ no cambia de signo: $0$ no es punto de inflexión. Ejemplo 1: Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de la función $f(x) = x e^{-x}$ Explicación: Se calcula la primera derivada para obtener los intervalos de monotonía y los candidatos a extremos; la segunda derivada clasifica el extremo y da la curvatura y los puntos de inflexión. PASO 1: Primera derivada e intervalos de monotonía. $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(1 - x)$ Como $e^{-x} > 0$ siempre, el signo de $f'$ es el de $1 - x$: $f'(x) > 0$ si $x < 1$ y $f'(x) < 0$ si $x > 1$ Luego $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 1]$ y estrictamente decreciente en $[1, +\infty)$ PASO 2: Extremo local. El único punto crítico es $x = 1$, donde $f'$ cambia de positiva a negativa: hay un máximo local con valor $f(1) = 1/e$ Con el criterio de la segunda derivada: $f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$, y $f''(1) = -1/e < 0$, lo que confirma el máximo. PASO 3: Curvatura y puntos de inflexión. $f''(x)$ se anula solo en $x = 2$ y cambia de negativa a positiva: $f$ es cóncava en $(-\infty, 2]$ y convexa en $[2, +\infty)$, con punto de inflexión en $\left(2, 2/e^2\right)$ Conclusión: La función crece hasta $x = 1$, donde alcanza el máximo local $1/e$, y decrece después; es cóncava hasta $x = 2$ y convexa desde ahí, con inflexión en $\left(2, 2/e^2\right)$ Ejemplo 2: Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^2 \ln x$, definida para $x > 0$ Explicación: El dominio es $(0, +\infty)$ por el logaritmo. Se deriva con la regla del producto y se estudian los signos de $f'$ y de $f''$ PASO 1: Primera derivada y monotonía. $f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)$ Como $x > 0$, el signo lo decide $2\ln x + 1$, que se anula en $x = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e}$ $f$ es estrictamente decreciente en $\left(0, 1/\sqrt{e}\right]$ y estrictamente creciente en $\left[1/\sqrt{e}, +\infty\right)$ PASO 2: Extremo local. En $x = 1/\sqrt{e}$ la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo local con valor $f(1/\sqrt{e}) = \frac{1}{e}\ln(e^{-1/2}) = -\frac{1}{2e}$ PASO 3: Segunda derivada, curvatura e inflexión. $f''(x) = 2\ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3$ $f''(x) = 0$ equivale a $x = e^{-3/2}$, con cambio de negativa a positiva. Luego $f$ es cóncava en $\left(0, e^{-3/2}\right]$ y convexa en $\left[e^{-3/2}, +\infty\right)$, con punto de inflexión en $\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ Conclusión: La función decrece hasta $x = 1/\sqrt{e}$, donde toma el mínimo local $-1/(2e)$, y crece después; cambia de cóncava a convexa en $x = e^{-3/2}$ Ejemplo 3: Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^{5/3}$ Explicación: La función es derivable en todo $\mathbb{R}$, pero su derivada segunda no existe en $0$. Este ejemplo muestra un punto crítico que no es extremo y un punto de inflexión con tangente vertical. PASO 1: Primera derivada y monotonía. $f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3}$ Como $x^{2/3} \ge 0$ para todo $x$, se tiene $f'(x) \ge 0$, con igualdad solo en $x = 0$ Luego $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$: el punto crítico $x = 0$ no es un extremo local porque $f'$ no cambia de signo. PASO 2: Segunda derivada y curvatura. Para $x \ne 0$: $f''(x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$ El signo de $f''$ es el de $x$: $f$ es cóncava en $(-\infty, 0]$ y convexa en $[0, +\infty)$ PASO 3: Punto de inflexión. Hay cambio de curvatura en $x = 0$, donde la función es continua: $(0, 0)$ es un punto de inflexión. Como $f'(0) = 0$, la tangente allí es horizontal; la gráfica atraviesa su tangente al pasar de cóncava a convexa. Conclusión: La función es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$ sin extremos locales; es cóncava antes de $0$ y convexa después, con punto de inflexión en el origen.

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio

1. Funciones monótonas: definiciones Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$ Se dice que $f$ es creciente en $I$ si para cualesquiera $x_1, x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ se cumple $f(x_1) \le f(x_2)$ Se dice que $f$ es estrictamente creciente en $I$ si $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) < f(x_2)$ Se dice que $f$ es decreciente en $I$ si $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) \ge f(x_2)$, y estrictamente decreciente si la desigualdad es estricta: $f(x_1) > f(x_2)$ Una función es monótona en $I$ cuando es creciente o decreciente en $I$, y estrictamente monótona cuando lo es en sentido estricto. La monotonía es una propiedad relativa a un intervalo: una misma función puede crecer en un intervalo y decrecer en otro. Ejemplo: La función $f(x) = x^2$ es estrictamente decreciente en $(-\infty, 0]$ y estrictamente creciente en $[0, +\infty)$, pero no es monótona en todo $\mathbb{R}$ 2. El teorema del valor medio y el criterio de monotonía Teorema (del valor medio): Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe algún punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Geométricamente, existe un punto donde la recta tangente es paralela a la recta secante que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ Teorema (criterio de monotonía): Si $f$ es continua en un intervalo $I$ y derivable en su interior, entonces si $f'(x) > 0$ para todo $x$ interior a $I$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$; si $f'(x) < 0$, entonces $f$ es estrictamente decreciente en $I$; si $f'(x) = 0$, entonces $f$ es constante en $I$ La idea de la demostración es aplicar el teorema del valor medio a dos puntos $x_1 < x_2$ de $I$: existe $c$ entre ellos con $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$, y el signo del segundo miembro lo decide el signo de $f'(c)$ En la práctica, los intervalos de monotonía se obtienen estudiando el signo de $f'$: donde es positiva la función crece y donde es negativa decrece. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x$ se tiene $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ Como $f'(x) > 0$ cuando $|x| > 1$ y $f'(x) < 0$ cuando $|x| < 1$, la función es estrictamente creciente en $(-\infty, -1]$ y en $[1, +\infty)$, y estrictamente decreciente en $[-1, 1]$ 3. Extremos locales: definición y condición necesaria Sea $f$ una función definida en un intervalo y sea $c$ un punto interior. Se dice que $f$ tiene un máximo local (o relativo) en $c$ si existe un entorno de $c$ tal que $f(c) \ge f(x)$ para todo $x$ de ese entorno. Se dice que $f$ tiene un mínimo local (o relativo) en $c$ si existe un entorno de $c$ tal que $f(c) \le f(x)$ para todo $x$ de ese entorno. Los máximos y mínimos locales se llaman, genéricamente, extremos locales. Teorema (de Fermat: condición necesaria de extremo local): Si $f$ tiene un extremo local en el punto interior $c$ y $f$ es derivable en $c$, entonces $f'(c) = 0$ La idea de la demostración para un máximo local es la siguiente: si $h > 0$ es pequeño, $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0$, y si $h < 0$ el cociente es mayor o igual que cero; al tomar límites se obtiene $f'(c) \le 0$ y $f'(c) \ge 0$, luego $f'(c) = 0$ La condición es necesaria pero no suficiente: que la derivada se anule no garantiza que haya un extremo. Ejemplo: La función $f(x) = x^3$ cumple $f'(0) = 0$, pero $0$ no es un extremo local, porque la función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ 4. Puntos críticos y el criterio de la primera derivada Sea $f$ continua en un punto $c$ Se dice que $c$ es un punto crítico de $f$ si $f'(c) = 0$ o si $f'$ no existe en $c$ Por el teorema de Fermat, todo extremo local interior es un punto crítico; por tanto, los puntos críticos son los candidatos a extremos locales. Que un punto sea crítico no garantiza que sea un extremo: hay que clasificarlo estudiando el signo de $f'$ a su alrededor. Teorema (criterio de la primera derivada): Si $f$ es continua en $c$, derivable en un entorno reducido de $c$, entonces si $f'$ cambia de positiva a negativa al pasar por $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$; si cambia de negativa a positiva, tiene un mínimo local en $c$; si no cambia de signo, no hay extremo local en $c$ La justificación es inmediata a partir del criterio de monotonía: en el primer caso la función crece hasta $c$ y decrece después. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x$, derivamos término a término: $f'(x) = 3x^2 - 3$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $3x^2 - 3 = 0$, de donde $3x^2 = 3$, $x^2 = 1$ y $x = -1$ o $x = 1$ Como $f'$ pasa de positiva a negativa en $x = -1$, hay un máximo local con valor $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ Como $f'$ pasa de negativa a positiva en $x = 1$, hay un mínimo local con valor $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$ 5. El criterio de la segunda derivada Cuando se dispone de la derivada segunda, la clasificación de un punto crítico con derivada nula puede hacerse sin estudiar el signo de $f'$ en un entorno. Teorema (criterio de la segunda derivada): Si $f'(c) = 0$ y existe $f''(c)$, entonces si $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$; si $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$; si $f''(c) = 0$, el criterio no decide y hay que usar el de la primera derivada. La idea es que $f''(c) > 0$ significa que $f'$ es creciente cerca de $c$; como $f'(c) = 0$, resulta $f' < 0$ a la izquierda y $f' > 0$ a la derecha, que es la configuración de un mínimo según el criterio anterior. Ejemplo: Para $f(x) = x^4$ el único punto crítico es $x = 0$ y $f''(0) = 0$, así que el criterio de la segunda derivada no decide. El criterio de la primera derivada sí: $f'(x) = 4x^3$ cambia de negativa a positiva en $0$, luego hay un mínimo local en $0$ con valor $0$ 6. Concavidad y convexidad Además de saber si una función crece o decrece, interesa saber cómo lo hace: si su pendiente aumenta o disminuye. Definición geométrica: $f$ es convexa en un intervalo abierto $I$ si para cada par $a, b \in I$ el segmento que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ queda por encima de la gráfica, es decir, $f(ta + (1-t)b) \le t f(a) + (1-t) f(b)$ para todo $t \in [0, 1]$ Se dice que $f$ es cóncava en $I$ si el segmento queda por debajo de la gráfica, es decir, con la desigualdad en sentido contrario. Para recordar la terminología: $x^2$ es convexa (tiene forma de sonrisa) y $-x^2$ es cóncava. Una función es cóncava en $I$ si y solo si $-f$ es convexa en $I$ Teorema (criterio de la derivada segunda para la curvatura): Si $f$ es dos veces derivable en un intervalo abierto $I$, entonces si $f''(x) \ge 0$ para todo $x \in I$, entonces $f$ es convexa en $I$; si $f''(x) \le 0$, entonces $f$ es cóncava en $I$ En la práctica, los intervalos de concavidad y convexidad se obtienen estudiando el signo de $f''$ Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x + 1$ se tiene $f''(x) = 6x$ La función es convexa para $x > 0$, donde $f''(x) > 0$, y cóncava para $x < 0$, donde $f''(x) < 0$ 7. Puntos de inflexión Un punto $c$ es un punto de inflexión de $f$ si $f$ es continua en $c$ y la curvatura cambia en $c$: la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Geométricamente, en un punto de inflexión la recta tangente atraviesa la gráfica. Condición necesaria: si $f$ tiene un punto de inflexión en $c$ y existe $f''(c)$, entonces $f''(c) = 0$ La condición no es suficiente: los candidatos a puntos de inflexión son los puntos donde $f''$ se anula o no existe, pero hay que comprobar que $f''$ cambia efectivamente de signo. Si $f''$ no existe en $c$ también puede haber inflexión, como en una tangente vertical. Ejemplo: La función $f(x) = x^3$ tiene un punto de inflexión en $x = 0$, porque $f''(x) = 6x$ cambia de negativa a positiva y la tangente $y = 0$ atraviesa la gráfica. En cambio, para $g(x) = x^4$ se tiene $g''(0) = 0$ pero $g''(x) = 12x^2 \ge 0$ no cambia de signo: $0$ no es punto de inflexión. Ejemplo 1: Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de la función $f(x) = x e^{-x}$

Explicación

Se calcula la primera derivada para obtener los intervalos de monotonía y los candidatos a extremos; la segunda derivada clasifica el extremo y da la curvatura y los puntos de inflexión.

PASO 1

Primera derivada e intervalos de monotonía.

$$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(1 - x)$$

Como $e^{-x} > 0$ siempre, el signo de $f'$ es el de $1 - x$: $f'(x) > 0$ si $x < 1$ y $f'(x) < 0$ si $x > 1$ Luego $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty, 1]$ y estrictamente decreciente en $[1, +\infty)$

PASO 2

Extremo local.

El único punto crítico es $x = 1$, donde $f'$ cambia de positiva a negativa: hay un máximo local con valor $f(1) = 1/e$ Con el criterio de la segunda derivada: $f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$, y $f''(1) = -1/e < 0$, lo que confirma el máximo.

PASO 3

Curvatura y puntos de inflexión.

$f''(x)$ se anula solo en $x = 2$ y cambia de negativa a positiva: $f$ es cóncava en $(-\infty, 2]$ y convexa en $[2, +\infty)$, con punto de inflexión en $\left(2, 2/e^2\right)$

Conclusión

La función crece hasta $x = 1$, donde alcanza el máximo local $1/e$, y decrece después; es cóncava hasta $x = 2$ y convexa desde ahí, con inflexión en $\left(2, 2/e^2\right)$

Ejemplo 2:

Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^2 \ln x$, definida para $x > 0$

Explicación

El dominio es $(0, +\infty)$ por el logaritmo. Se deriva con la regla del producto y se estudian los signos de $f'$ y de $f''$

PASO 1

Primera derivada y monotonía.

$$f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)$$

Como $x > 0$, el signo lo decide $2\ln x + 1$, que se anula en $x = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e}$

$f$ es estrictamente decreciente en $\left(0, 1/\sqrt{e}\right]$ y estrictamente creciente en $\left[1/\sqrt{e}, +\infty\right)$

PASO 2

Extremo local.

En $x = 1/\sqrt{e}$ la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo local con valor $f(1/\sqrt{e}) = \frac{1}{e}\ln(e^{-1/2}) = -\frac{1}{2e}$

PASO 3

Segunda derivada, curvatura e inflexión.

$$f''(x) = 2\ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3$$

$f''(x) = 0$ equivale a $x = e^{-3/2}$, con cambio de negativa a positiva. Luego $f$ es cóncava en $\left(0, e^{-3/2}\right]$ y convexa en $\left[e^{-3/2}, +\infty\right)$, con punto de inflexión en $\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$

Conclusión

La función decrece hasta $x = 1/\sqrt{e}$, donde toma el mínimo local $-1/(2e)$, y crece después; cambia de cóncava a convexa en $x = e^{-3/2}$

Ejemplo 3:

Estudiar la monotonía, los extremos locales, la concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^{5/3}$

Explicación

La función es derivable en todo $\mathbb{R}$, pero su derivada segunda no existe en $0$. Este ejemplo muestra un punto crítico que no es extremo y un punto de inflexión con tangente vertical.

PASO 1

Primera derivada y monotonía.

$$f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3}$$

Como $x^{2/3} \ge 0$ para todo $x$, se tiene $f'(x) \ge 0$, con igualdad solo en $x = 0$ Luego $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$: el punto crítico $x = 0$ no es un extremo local porque $f'$ no cambia de signo.

PASO 2

Segunda derivada y curvatura.

Para $x \ne 0$:

$$f''(x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$$

El signo de $f''$ es el de $x$: $f$ es cóncava en $(-\infty, 0]$ y convexa en $[0, +\infty)$

PASO 3

Punto de inflexión.

Hay cambio de curvatura en $x = 0$, donde la función es continua: $(0, 0)$ es un punto de inflexión. Como $f'(0) = 0$, la tangente allí es horizontal; la gráfica atraviesa su tangente al pasar de cóncava a convexa.

Conclusión

La función es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$ sin extremos locales; es cóncava antes de $0$ y convexa después, con punto de inflexión en el origen.

Monotonía, extremos locales y concavidad

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