1.1 1.1.3 Números racionales

1.1.3 Números racionales

Definición y conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, denotado por $Q $, se define como el conjunto de todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el denominador es estrictamente distinto de cero:

$$Q = \left\{\frac{a}{b} : a, b \in Z, \; b \ne 0\right\} $$

En la fracción $\frac{a}{b} $, el número superior $a $ se denomina numerador y representa la cantidad de partes consideradas, mientras que el número inferior $b $ se denomina denominador e indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad.

ð Ejemplo conceptual:

Si una pizza se divide en 8 porciones exactamente iguales y tomamos 3 porciones, la cantidad consumida es la fracción racional $\frac{3}{8} \in Q $

Relación de equivalencia y fracción irreducible

Un mismo número racional puede representarse mediante infinitas fracciones distintas que representan la misma proporción.

Decimos que dos fracciones $\frac{a}{b} $ y $\frac{c}{d} $ son equivalentes si y sólo si sus productos cruzados son iguales:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c $$

ð Ejemplo:

Las fracciones $\frac{2}{3} $ y $\frac{10}{15} $ son equivalentes porque $2 \cdot 15 = 30 = 3 \cdot 10 $

Fracción Irreducible:

Toda clase de equivalencia racional contiene un único representante canónico $\frac{p}{q} $ con $q > 0 $ tal que el numerador y el denominador no comparten factores comunes salvo la unidad, es decir:

$$\text{mcd}(p, q) = 1 $$

ð Ejemplo:

Para la fracción $\frac{42}{70} $, calculamos $\text{mcd}(42, 70) = 14 $. Dividiendo ambos términos entre 14 obtenemos la forma irreducible $\frac{42 \div 14}{70 \div 14} = \frac{3}{5} $

Estructura algebraica de cuerpo conmutativo

El conjunto $Q $ con las operaciones habituales de adición y multiplicación forma un cuerpo conmutativo $(Q, +, \cdot) $:

Suma y Resta en Racionales:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} $$

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$

ð Ejemplo:

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{6 + 5}{15} = \frac{11}{15} \in Q $$

Multiplicación y División (Existencia de Elemento Inverso):

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

Para cualquier número racional no nulo $\frac{a}{b} \ne 0 $ (lo que exige $a \ne 0 $), existe un único inverso multiplicativo $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \in Q $$, tal que:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} = 1 $$

Esto permite definir la división exacta de racionales:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad (c \ne 0) $$

ð Ejemplo:

$$\frac{4}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} \in Q $$

Propiedad de densidad de los números racionales

Una propiedad topológica esencial de los números racionales es la densidad:

Entre dos números racionales distintos cualesquiera $r_1, r_2 \in Q $ con $r_1 < r_2 $, siempre existe al menos otro número racional comprendido estrictamente entre ambos.

En particular, la media aritmética de ambos es un número racional que verifica dicha condición:

$$m = \frac{r_1 + r_2}{2} \in Q \quad \text{tal que} \quad r_1 < m < r_2 $$

ð Ejemplo:

Entre $r_1 = \frac{1}{3} $ y $r_2 = \frac{1}{2} $, calculamos su

punto medio:

$$m = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + 3}{6}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} \in Q $$

Comprobamos que $$\frac{1}{3} = \frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

Al poder repetir este procedimiento indefinidamente, deducimos que entre dos racionales cualesquiera existen infinitos números racionales.

Representación decimal de los racionales y limitación fundamental

Todo número racional admite una representación decimal que sólo puede ser de dos tipos:

1. Decimal exacto (finito): cuando el denominador de la fracción irreducible sólo contiene como factores primos al 2 y al 5 (ejemplo: $\frac{3}{8} = 0{,}375 $).

2. Decimal periódico (puro o mixto): cuando el denominador contiene otros factores primos (ejemplo: $\frac{1}{3} = 0{,}\widehat{3} $).

Limitación de los Racionales:

A pesar de que el conjunto $Q $ es infinito y denso, los números racionales no completan la recta continua.

Si construimos un cuadrado de lado 1, su diagonal mide por el teorema de Pitágoras $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies d = \sqrt{2} $. Como demostraremos en el siguiente tema, $\sqrt{2} \notin Q $, revelando la existencia de huecos o fisuras en la recta racional que obligan a definir los números reales.

ð Ejemplo 1 Conversión rigurosa de número decimal periódico a fracción irreducible

Obtención de la fracción generatriz de un decimal periódico mixto mediante técnicas de cancelación

Hallar la fracción irreducible generatriz del número decimal periódico mixto $x = 3{,}14\widehat{54} = 3{,}14545454\dots $

ð PASO 1

Desplazamiento de la coma para aislar el anteperíodo y el período.

Multiplicamos la incógnita $x $ por potencias de 10 adecuadas:

Para desplazar la coma hasta el inicio del período multiplicamos por $10^2 = 100 $:

$$100x = 314{,}545454\dots $$

Para desplazar la coma hasta el final del primer período multiplicamos por $10^4 = 10000 $:

$$10000x = 31454{,}545454\dots $$

ð PASO 2

Cancelación de la parte decimal periódica mediante sustracción.

Restamos miembro a miembro la primera ecuación de

la segunda:

$$10000x - 100x = 31454{,}5454\dots - 314{,}5454\dots $$

$$9900x = 31454 - 314 = 31140 $$

Despejamos la variable $x $:

$$x = \frac{31140}{9900} $$

ð PASO 3

Simplificación de la fracción hasta su forma irreducible.

Dividimos entre 10 cancelando el cero final:

$$x = \frac{3114}{990} $$

Ambos términos son pares y la suma de sus cifras es múltiplo de 9 ($3+1+1+4=9 $ y $9+9+0=18 $), por lo que dividimos entre 18:

$$3114 \div 18 = 173 $$

$$990 \div 18 = 55 $$

Como 173 es un número primo y no comparte factores con 55, la fracción irreducible es:

$$x = \frac{173}{55} $$

Conclusión: La fracción irreducible generatriz del número decimal dado es $\frac{173}{55} \in Q $

ð Ejemplo 2 Construcción de racionales intermedios mediante densificación sucesiva

Cálculo de una terna de números racionales estrictamente comprendidos entre dos fracciones dadas

Encontrar tres números racionales distintos $q_1, q_2, q_3 \in Q $ comprendidos estrictamente en el intervalo $\left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right) $

ð PASO 1

Cambio a denominador común ampliado.

Las fracciones originales $\frac{3}{7} $ y $\frac{4}{7} $ tienen numeradores enteros consecutivos (3 y 4).

Para abrir espacio para al menos 3 números racionales intermedios, multiplicamos numerador y denominador por un factor entero mayor que 3, por ejemplo $k = 4 $:

$$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28} $$

$$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28} $$

ð PASO 2

Selección de los numeradores enteros interiores.

Entre los enteros 12 y 16 existen tres enteros estrictos: 13, 14 y 1

Definimos las tres fracciones intermedias:

$$q_1 = \frac{13}{28} $$

$$q_2 = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} $$

$$q_3 = \frac{15}{28} $$

ð PASO 3

Verificación del ordenamiento estricto.

Comprobamos inmediatamente que:

$$\frac{12}{28} < \frac{13}{28} < \frac{14}{28} < \frac{15}{28} < \frac{16}{28} $$

Es decir:

$$\frac{3}{7} < \frac{13}{28} < \frac{1}{2} < \frac{15}{28} < \frac{4}{7} $$

Conclusión: Tres números racionales situados estrictamente entre tres séptimos y cuatro séptimos son $\frac{13}{28} $, $\frac{1}{2} $ y $\frac{15}{28} $

ð Ejemplo 3 Ecuación algebraica racional y análisis de raíces admisibles

Resolución completa de una ecuación fraccionaria con verificación de dominios de definición

Resolver en el conjunto de los números racionales $Q $ la ecuación fraccionaria $$\frac{2x - 1}{x + 3} - \frac{x + 2}{x - 2} = 1 $$

ð PASO 1

Dominio de definición y restricciones de anulación.

Los denominadores de las fracciones no pueden ser nulos, por lo que los valores prohibidos son:

$$x + 3 = 0 \implies x \ne -3 $$

$$x - 2 = 0 \implies x \ne 2 $$

El dominio admisible es $D = Q \setminus \{-3, 2\} $

ð PASO 2

Reducción a común denominador y eliminación de fracciones.

El mínimo común múltiplo de los denominadores es $(x + 3)(x - 2) $. Multiplicamos toda la ecuación por dicho término:

$$(2x - 1)(x - 2) - (x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x - 2) $$

Desarrollamos cada producto:

$$(2x^2 - 4x - x + 2) - (x^2 + 3x + 2x + 6) = x^2 - 2x + 3x - 6 $$

$$(2x^2 - 5x + 2) - (x^2 + 5x + 6) = x^2 + x - 6 $$

$$x^2 - 10x - 4 = x^2 + x - 6 $$

ð PASO 3

Despeje lineal y verificación.

Restamos $x^2 $ en ambos miembros de la ecuación:

$$-10x - 4 = x - 6 \implies -10x - x = -6 + 4 \implies -11x = -2 \implies x = \frac{2}{11} $$

Como $\frac{2}{11} \in Q $ y además $\frac{2}{11} \ne -3 $ y $\frac{2}{11} \ne 2 $, la solución es completamente admisible.

Conclusión: La única solución racional de la ecuación fraccionaria es $x = \frac{2}{11} \in Q $

ð Ejemplo 4 Descomposición racional en fracciones simples elementales

Cálculo de coeficientes para la partición analítica de una fracción propia

Descomponer en suma de fracciones racionales simples la expresión propia $R(x) = \frac{5x - 1}{x^2 - x - 6} $

ð PASO 1

Factorización del polinomio denominador.

Buscamos las raíces del denominador $x^2 - x - 6 = 0 $:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$

Obtenemos las raíces $x_1 = 3 $ y $x_2 = -2 $. Por tanto:

$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

ð PASO 2

Planteamiento de las fracciones simples con coeficientes indeterminados.

Planteamos la descomposición con constantes racionales $A, B \in Q $:

$$\frac{5x - 1}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} $$

Reduciendo a común denominador e igualando numeradores:

$$5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3) $$

ð PASO 3

Determinación de las constantes mediante sustitución estratégica.

Evaluamos en la raíz $x = 3 $:

$$5(3) - 1 = A(3 + 2) + B(3 - 3) \implies 14 = 5A \implies A = \frac{14}{5} $$

Evaluamos en la raíz $x = -2 $:

$$5(-2) - 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 3) \implies -11 = -5B \implies B = \frac{11}{5} $$

Conclusión: La descomposición en fracciones simples racionales es $$\frac{5x - 1}{x^2 - x - 6} = \frac{\frac{14}{5}}{x - 3} + \frac{\frac{11}{5}}{x + 2} $$

ð Ejemplo 5 Demostración de que la raíz de una fracción irreducible no entera no es racional

ð Teorema: de clausura radical sobre números racionales y cuadrados perfectos

Demostrar que si una fracción irreducible $\frac{a}{b} \in Q $ con $a, b \in N $ y $b \ge 2 $ no es un cuadrado perfecto en ambos términos, entonces $\sqrt{\frac{a}{b}} \notin Q $

ð PASO 1

Hipótesis de contradicción y planteamiento analítico.

Sea $\frac{a}{b} $ una fracción irreducible con $a, b \in N $, $\text{mcd}(a, b) = 1 $ y $b \ge 2 $

Supongamos por reducción al absurdo que su raíz cuadrada es un número racional:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} \in Q \implies \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{p}{q} $$

donde $\frac{p}{q} $ es una fracción irreducible de números naturales con $\text{mcd}(p, q) = 1 $

ð PASO 2

Elevación al cuadrado e igualdad de fracciones irreducibles.

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$\frac{a}{b} = \frac{p^2}{q^2} \implies a \cdot q^2 = b \cdot p^2 $$

Como $\text{mcd}(p, q) = 1 $, sus cuadrados también son coprimos: $\text{mcd}(p^2, q^2) = 1 $

De igual modo, por hipótesis de partida $\text{mcd}(a, b) = 1 $

ð PASO 3

Unicidad de la representación canónica de fracciones irreducibles.

Si dos fracciones irreducibles positivas son iguales $\frac{a}{b} = \frac{p^2}{q^2} $, sus numeradores y denominadores deben ser idénticos término a término:

$$a = p^2 \quad \text{y} \quad b = q^2 $$

Esto obliga a que tanto $a $ como $b $ sean cuadrados perfectos de números enteros.

Por tanto, si $a $ o $b $ no son cuadrados perfectos, la suposición inicial es falsa.

Conclusión:

Si una fracción irreducible no está formada por cuadrados perfectos en numerador y denominador, su raíz cuadrada no es un número racional, perteneciendo al conjunto de los números irracionales.