8.4.4 Superficies de revolución

Question

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Enunciado del ejercicio
  
    ci-8-4-4 8.4.4 Superficies de revolución Cuando una curva suave gira alrededor de un eje en el espacio tridimensional genera una superficie bidimensional curva denominada superficie de revolución. 1. Deducción Mediante Bandas Cónicas Infinitesimales: El área lateral de un tronco de cono circular recto de radios extremos $r_1$ y $r_2$ y generatriz inclinada $L$ viene dada por la fórmula clásica: $A_{\text{lateral}} = 2\pi r_{\text{medio}} L \quad \text{donde } r_{\text{medio}} = \frac{r_1 + r_2}{2}$ Al considerar una porción infinitamente pequeña de la curva de longitud diferencial de arco $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$, al girar una vuelta completa alrededor de un eje a una distancia perpendicular $r$, la banda barre un área lateral infinitesimal dada por: $dA = 2\pi \cdot r \cdot ds$ 2. Rotación alrededor del Eje de Abscisas (Eje OX): Si la curva regular $y = f(x) \ge 0$ en el intervalo $[a, b]$ gira alrededor del eje horizontal $OX$, el radio de giro de cada punto $(x, y)$ es exactamente su ordenada $r = y = f(x)$. Por tanto: $S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$ Ejemplo de área de superficie: Área de una esfera de radio $R$. Giramos la semicircunferencia superior $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ en $[-R, R]$ alrededor del eje $OX$ La derivada es $y' = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} \implies 1 + (y')^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$ El producto del radio por el elemento de arco es: $y \sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} = R$ Integrando: $S = 2\pi \int_{-R}^R R \, dx = 2\pi R [x]_{-R}^R = 2\pi R (R - (-R)) = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$ lo que prueba analíticamente la célebre fórmula de Arquímedes. 3. Rotación alrededor del Eje de Ordenadas (Eje OY): Si la curva $y = f(x)$ para $x \in [a, b]$ ($a \ge 0$) gira alrededor del eje vertical $OY$, el radio de giro de cada punto al eje de rotación es su coordenada horizontal $r = x$: $S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$ 4. Superficies de Revolución en Ecuaciones Paramétricas: Para una curva definida en paramétricas $x = x(t), y = y(t)$ con $t \in [t_1, t_2]$: - Al girar alrededor del eje $OX$ ($y(t) \ge 0$): $S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt$ - Al girar alrededor del eje $OY$ ($x(t) \ge 0$): $S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt$ A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso: $\text{Ejemplo 1}$ Calcular el área de la superficie generada al girar el arco de parábola: $y = \frac{x^2}{2} \quad \text{en el intervalo } [0, \sqrt{3}]$ alrededor del eje vertical de ordenadas $OY$

PASO 1
Identificamos el eje de rotación (eje $OY$), por lo que el radio de giro es $r = x$. El intervalo es $[0, \sqrt{3}]$

PASO 2
Calculamos la primera derivada y el elemento diferencial de arco:
$$y' = \frac{d}{dx}\left[ \frac{x^2}{2} \right] = x \implies \sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + x^2}$$

PASO 3
Planteamos la integral del área superficial:
$$S = 2\pi \int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^2} \, dx$$

PASO 4
Reconocemos que el integrando posee la derivada interna ajustada multiplicando y dividiendo por 2:
$$S = \pi \int_0^{\sqrt{3}} (2x) (1 + x^2)^{1/2} \, dx = \pi \left[ \frac{(1 + x^2)^{3/2}}{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3} \left[ (1 + x^2)^{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}}$$

PASO 5
Evaluamos mediante Barrow en $\sqrt{3}$ y en 0:
- En $x = \sqrt{3}$:
$$(1 + (\sqrt{3})^2)^{3/2} = (1 + 3)^{3/2} = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$$
- En $x = 0$:
$$(1 + 0)^{3/2} = 1^{3/2} = 1$$
Restando ambos términos:
$$S = \frac{2\pi}{3} (8 - 1) = \frac{2\pi}{3}(7) = \frac{14\pi}{3}$$

Conclusión
El área de la superficie del paraboloide es exactamente $\frac{14\pi}{3} \approx 14.6608$

Ejemplo 2 Calcular el área de la superficie generada por la rotación del arco de catenaria alrededor del eje de abscisas $OX$ (superficie denominada catenoide):
  
$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \quad \text{en el intervalo } [0, a]$$
PASO 1
Calculamos la derivada de la función y el diferencial de arco:
$$y' = \sinh\left(\frac{x}{a}\right) \implies \sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{x}{a}\right)} = \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$

PASO 2
Planteamos la integral del área superficial alrededor del eje $OX$ ($r = y$):
$$S = 2\pi \int_0^a y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx = 2\pi \int_0^a \left( a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \right) \left( \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \right) dx = 2\pi a \int_0^a \cosh^2\left(\frac{x}{a}\right) dx$$

PASO 3
Empleamos la identidad del argumento doble para el coseno hiperbólico $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$:
$$S = 2\pi a \int_0^a \frac{1 + \cosh\left(\frac{2x}{a}\right)}{2} \, dx = \pi a \int_0^a \left( 1 + \cosh\left(\frac{2x}{a}\right) \right) dx$$

PASO 4
Integramos término a término:
$$S = \pi a \left[ x + \frac{a}{2}\sinh\left(\frac{2x}{a}\right) \right]_0^a$$

PASO 5
Evaluamos mediante Barrow en $a$ y en 0:
$$S = \pi a \left[ \left( a + \frac{a}{2}\sinh(2) \right) - (0 + 0) \right] = \pi a^2 \left( 1 + \frac{\sinh(2)}{2} \right)$$

Conclusión
El área del catenoide es $\pi a^2 \left( 1 + \frac{1}{2}\sinh(2) \right)$

Ejemplo 3 Calcular el área de la superficie generada al girar un arco completo de cicloide alrededor de su base horizontal (eje $OX$):
  
$$x(t) = a(t - \sin t), \quad y(t) = a(1 - \cos t) \quad (t \in [0, 2\pi])$$
PASO 1
Recordamos los elementos diferenciales de la cicloide calculados previamente:
$$\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right)$$
y la ordenada es $y(t) = a(1 - \cos t) = 2a \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$

PASO 2
Planteamos la integral paramétrica de superficie de revolución alrededor de $OX$:
$$S = 2\pi \int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt$$
Sustituyendo las expresiones en el ángulo mitad:
$$S = 2\pi \int_0^{2\pi} \left( 2a \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) \right) \left( 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right) \right) dt = 8\pi a^2 \int_0^{2\pi} \sin^3\left(\frac{t}{2}\right) dt$$

PASO 3
Realizamos el cambio de variable $u = \frac{t}{2} \implies dt = 2 \, du$
Límites: Si $t = 0 \implies u = 0$; si $t = 2\pi \implies u = \pi$
$$S = 8\pi a^2 \int_0^\pi \sin^3(u) \cdot (2 \, du) = 16\pi a^2 \int_0^\pi \sin^3 u \, du$$

PASO 4
Integramos la potencia impar del seno:
$$\int_0^\pi \sin^3 u \, du = \int_0^\pi (1 - \cos^2 u) \sin u \, du = \left[ -\cos u + \frac{\cos^3 u}{3} \right]_0^\pi$$
Evaluando en $\pi$ y en 0:
$$= \left( -(-1) + \frac{(-1)^3}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

PASO 5
Multiplicamos por la constante exterior:
$$S = 16\pi a^2 \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{64\pi a^2}{3}$$

Conclusión
El área de la superficie engendrada es exactamente $\frac{64\pi a^2}{3}$

Ejemplo 4 Deducir el área superficial del toro de revolución engendrado al girar la circunferencia de radio $r$ centrada en $(R, 0)$ ($R > r$) alrededor del eje vertical $OY$
  
PASO 1
Parametrizamos la circunferencia de radio menor $r$ con centro desplazado a distancia $R$ del eje de giro:
$$x(t) = R + r\cos t, \quad y(t) = r\sin t \quad (t \in [0, 2\pi])$$

PASO 2
Calculamos el elemento diferencial de arco:
$$x'(t) = -r\sin t, \quad y'(t) = r\cos t \implies \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = \sqrt{r^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = r$$

PASO 3
Planteamos la integral de superficie de revolución alrededor del eje vertical $OY$, donde la distancia al eje es $x(t) = R + r\cos t$:
$$S = 2\pi \int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt = 2\pi \int_0^{2\pi} (R + r\cos t) \cdot r \, dt$$

PASO 4
Distribuimos e integramos en el periodo completo:
$$S = 2\pi r \int_0^{2\pi} (R + r\cos t) \, dt = 2\pi r \left[ Rt + r\sin t \right]_0^{2\pi}$$
Evaluando en $2\pi$ y en 0:
$$S = 2\pi r \left[ (R(2\pi) + r\sin(2\pi)) - (0 + 0) \right] = 2\pi r (2\pi R + 0) = 4\pi^2 R r$$

Conclusión
El área superficial del toro es exactamente $4\pi^2 R r = (2\pi R)(2\pi r)$, que equivale al perímetro de la circunferencia generatriz multiplicado por la distancia recorrida por su centroide (Primer Teorema de Pappus-Guldin).

Ejemplo 5 Analizar la Paradoja de la Trompeta de Torricelli (o Cuerno de Gabriel): demostrar que el sólido generado al girar la curva hiperbólica $y = \frac{1}{x}$ en el intervalo no acotado $[1, +\infty)$ alrededor del eje $OX$ encierra un volumen finito pero posee un área superficial infinita
  
PASO 1
Calculamos el volumen del sólido mediante el método de discos aplicando una integral impropia:
$$V = \pi \int_1^\infty \left( \frac{1}{x} \right)^2 dx = \pi \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2} \, dx$$
Integramos:
$$V = \pi \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \pi \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-1) \right) = \pi (0 + 1) = \pi$$
El volumen es finito e igual exactamente a $\pi$

PASO 2
Planteamos la integral del área de la superficie lateral de revolución:
$$S = 2\pi \int_1^\infty y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$$
Calculamos la derivada y el radical:
$$y' = -\frac{1}{x^2} \implies \sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} > 1 \quad \forall x \ge 1$$

PASO 3
Acotamos inferiormente el integrando:
$$y \sqrt{1 + (y')^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} > \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$$

PASO 4
Aplicamos el criterio de comparación para integrales impropias:
$$S = 2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} \, dx > 2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx$$
Calculamos la integral minorante:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [\ln x]_1^b = \lim_{b \to \infty} \ln b = +\infty$$
Como la integral minorante diverge hacia el infinito, la integral del área superficial diverge estrictamente:
$$S = +\infty$$

Conclusión
La Trompeta de Torricelli tiene un volumen estrictamente finito ($V = \pi$) pero una superficie infinitamente extensa ($S = \infty$), lo que implica conceptualmente que se podría llenar de pintura completamente pero nunca se podría pintar toda su superficie interior.

8.4.4 Superficies de revolución

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