8.1 8.1 Definición y propiedades

ci-8-1-1 8.1 Definición y propiedades

La integral definida surge históricamente como la formalización matemática rigurosa del problema del cálculo del área bajo la gráfica de una función acotada $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $

Particiones y Sumas de Darboux

Sea $ [a, b] $ un intervalo cerrado y acotado.

Una partición $ P $ de $ [a, b] $ es un conjunto ordenado finito de puntos:

$$ P = \{ x_0, x_1, x_2, \dots, x_n \} \quad \text{con } a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b $$

que divide a $ [a, b] $ en $ n $ subintervalos disjuntos $ [x_{i-1}, x_i] $ de longitud $ \Delta x_i = x_i - x_{i-1} $

La norma o diámetro de la partición es la longitud del subintervalo más ancho:

$$ \|P\| = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i $$

Para cada subintervalo $ [x_{i-1}, x_i] $, definimos el ínfimo y el supremo de la función $ f $ en dicho tramo:

$$ m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x), \qquad M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) $$

Se definen la Suma Inferior de Darboux $ L(f, P) $ y la Suma Superior de Darboux $ U(f, P) $ como:

$$ L(f, P) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i $$

Geométricamente, $ L(f, P) $ representa la suma de las áreas de los rectángulos inscritos (por defecto) y $ U(f, P) $ la de los rectángulos circunscritos (por exceso).

Para cualquier partición se cumple estrictamente que $ L(f, P) \le U(f, P) $

ð Ejemplo: de suma de Darboux: Sea la función lineal creciente $ f(x) = 2x $ en el intervalo $ [0, 2] $. Consideremos la partición uniforme en 2 subintervalos $ P = \{0, 1, 2\} $, donde $ \Delta x_1 = \Delta x_2 = 1 $

- En $ [0, 1] $: $ m_1 = f(0) = 0 $, $ M_1 = f(1) = 2 $

- En $ [1, 2] $: $ m_2 = f(1) = 2 $, $ M_2 = f(2) = 4 $

Las sumas son:

$$ L(f, P) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2, \qquad U(f, P) = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 6 $$

Definición de la Integral de Riemann

La integral inferior de Riemann $ \underline{\int_a^b} f(x) \, dx $ es el supremo de todas las sumas inferiores posibles, y la integral superior $ \overline{\int_a^b} f(x) \, dx $ es el ínfimo de todas las sumas superiores:

$$ \underline{\int_a^b} f(x) \, dx = \sup_P L(f, P), \qquad \overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \inf_P U(f, P) $$

Decimos que una función acotada $ f $ es integrable según Riemann en $ [a, b] $ si y solo si ambas integrales coinciden:

$$ \underline{\int_a^b} f(x) \, dx = \overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx $$

Equivalentemente (Criterio de Riemann), $ f $ es integrable si y solo si para todo $ \varepsilon > 0 $ existe una partición $ P_\varepsilon $ tal que:

$$ U(f, P_\varepsilon) - L(f, P_\varepsilon) < \varepsilon $$

Sumas de Riemann

Si elegimos un punto arbitrario de muestra $ c_i \in [x_{i-1}, x_i] $ en cada tramo, la Suma de Riemann es:

$$ S(f, P, \{c_i\}) = \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i $$

Si $ f $ es integrable, el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de la partición tiende a cero converge exactamente al valor de la integral:

$$ \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \, dx $$

ð Ejemplo: de límite de sumas de Riemann:

Para $ f(x) = x $ en $ [0, 1] $ con partición uniforme en $ n $ tramos de longitud $ \frac{1}{n} $ y extremos derechos $ c_i = \frac{i}{n} $:

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( \frac{i}{n} \right) \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n i = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{1}{2} = \int_0^1 x \, dx $$

Teoremas de Integrabilidad

- Teorema de continuidad: Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado $ [a, b] $ es integrable según Riemann.

- Teorema de monotonía: Toda función monótona (creciente o decreciente) en $ [a, b] $ es integrable según Riemann, incluso si presenta un número numerable de discontinuidades de salto finito.

Propiedades Fundamentales de la Integral Definida

- Linealidad:

Para cualesquiera constantes $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $:

$$ \int_a^b \left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right] dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx $$

- Aditividad respecto al intervalo:

Para cualquier punto intermedio o exterior $ c $ (respetando la orientación de los límites $ \int_b^a f = -\int_a^b f $):

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx $$

- Monotonía (conservación del orden):

Si $ f(x) \le g(x) $ para todo $ x \in [a, b] $, entonces:

$$ \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx $$

- Desigualdad del valor absoluto:

$$ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx $$

- Teorema del Valor Medio para el Cálculo Integral:

Si $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ es continua, existe al menos un punto $ c \in [a, b] $ tal que:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a) \iff f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx = \mu $$

donde $ \mu $ representa la altura media exacta de la función en el intervalo.

A continuación presentamos cinco problemas prácticos avanzados con resolución completa paso a paso:

ð Ejemplo 1 Calcular el límite de la siguiente sucesión de sumas transformándola en una integral definida de Riemann:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} $$

ð PASO 1

Para identificar una suma de Riemann en el intervalo unitario estándar $ [0, 1] $, debemos hacer emerger explícitamente el ancho común del subintervalo $ \Delta x = \frac{1}{n} $ y la variable discreta evaluada $ x_k = \frac{k}{n} $

ð PASO 2

Extraemos factor común $ n^2 $ en el denominador de cada término de la suma:

$$ \frac{k}{n^2 + k^2} = \frac{k}{n^2 \left( 1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 \right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} $$

ð PASO 3

Reescribimos la sumatoria completa:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} $$

Reconocemos la suma de Riemann de la función continua $ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $ en el intervalo cerrado $ [0, 1] $. Por el teorema de convergencia de Riemann:

$$ L = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} \, dx $$

ð PASO 4

Integramos ajustando la derivada del denominador mediante un factor multiplicativo un medio:

$$ L = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \ln(1 + x^2) \right]_0^1 $$

Evaluamos en los extremos de integración:

$$ L = \frac{1}{2} \left( \ln(1 + 1^2) - \ln(1 + 0^2) \right) = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2 $$

Conclusión: El límite de la sumatoria es exactamente $ \frac{1}{2}\ln 2 = \ln\sqrt{2} $

ð Ejemplo 2 Calcular la integral definida de la función definida a trozos y en valor absoluto:

$$ I = \int_{-2}^{3} \left( |x| + f(x) \right) dx \quad \text{donde } f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1, & \text{si } x \ge 1 \end{cases} $$

ð PASO 1

Analizamos los puntos de ruptura del dominio $ [-2, 3] $

- La función valor absoluto cambia de definición en el origen $ x = 0 $: $ |x| = -x $ para $ x < 0 $ y $ |x| = x $ para $ x \ge 0 $

- La función $ f(x) $ cambia de tramo analítico en $ x = 1 $

Por la propiedad de aditividad respecto al intervalo, descomponemos la integral en tres tramos continuos:

$$ I = \int_{-2}^0 (|x| + f(x)) \, dx + \int_0^1 (|x| + f(x)) \, dx + \int_1^3 (|x| + f(x)) \, dx $$

ð PASO 2

Planteamos y calculamos cada tramo por separado:

- Tramo 1 en $ [-2, 0] $: aquí $ |x| = -x $ y $ f(x) = x^2 $:

$$ I_1 = \int_{-2}^0 (-x + x^2) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 = 0 - \left( -\frac{(-2)^2}{2} + \frac{(-2)^3}{3} \right) = 0 - \left( -2 - \frac{8}{3} \right) = \frac{14}{3} $$

- Tramo 2 en $ [0, 1] $: aquí $ |x| = x $ y $ f(x) = x^2 $:

$$ I_2 = \int_0^1 (x + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{5}{6} $$

- Tramo 3 en $ [1, 3] $: aquí $ |x| = x $ y $ f(x) = 2x - 1 $:

$$ I_3 = \int_1^3 (x + (2x - 1)) \, dx = \int_1^3 (3x - 1) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_1^3 $$

$$ I_3 = \left( \frac{3(9)}{2} - 3 \right) - \left( \frac{3(1)}{2} - 1 \right) = \left( \frac{27}{2} - 3 \right) - \left( \frac{3}{2} - 1 \right) = \frac{21}{2} - \frac{1}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

ð PASO 3

Sumamos los tres valores obtenidos:

$$ I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{14}{3} + \frac{5}{6} + 10 = \frac{28}{6} + \frac{5}{6} + \frac{60}{6} = \frac{93}{6} = \frac{31}{2} = 15.5 $$

Conclusión: La integral definida total de la función a trozos es $ \frac{31}{2} $

ð Ejemplo 3 Utilizar las propiedades de orden y monotonía para acotar de forma rigurosa el valor de la integral:

$$ J = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4 - x^2 + x^3}} \, dx $$

demostrando que satisface la desigualdad $ \frac{1}{2} \le J \le \frac{1}{\sqrt{3}} $

ð PASO 1

Analizamos el comportamiento de la función bajo la raíz cúbica y cuadrática en el intervalo cerrado $ x \in [0, 1] $

Para cualquier $ x \in [0, 1] $, se cumple que $ x^3 \le x^2 $, lo que implica que la diferencia es no positiva:

$$ -x^2 + x^3 = x^2(x - 1) \le 0 \implies 4 - x^2 + x^3 \le 4 $$

ð PASO 2

Por otra parte, como el valor mínimo de $ x^2(x - 1) $ en $ [0, 1] $ se alcanza analizando los extremos o puntos críticos:

Para $ x = 1 $, $ 4 - 1^2 + 1^3 = 4 - 1 + 1 = 4 $

Para valores intermedios, dado que $ x^3 \ge 0 $ y $ x^2 \le 1 $:

$$ 4 - x^2 + x^3 \ge 4 - x^2 \ge 4 - 1 = 3 $$

Así pues, para todo $ x \in [0, 1] $ tenemos:

$$ 3 \le 4 - x^2 + x^3 \le 4 $$

ð PASO 3

Como la función raíz cuadrada es estrictamente monótona creciente:

$$ \sqrt{3} \le \sqrt{4 - x^2 + x^3} \le \sqrt{4} = 2 $$

Invertimos las desigualdades al pasar a los recíprocos (lo que invierte el sentido de orden):

$$ \frac{1}{2} \le \frac{1}{\sqrt{4 - x^2 + x^3}} \le \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \forall x \in [0, 1] $$

ð PASO 4

Aplicamos la propiedad de monotonía de la integral definida integrando en $ [0, 1] $:

$$ \int_0^1 \frac{1}{2} \, dx \le \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4 - x^2 + x^3}} \, dx \le \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3}} \, dx $$

Calculamos las integrales de las constantes (longitud del intervalo $ 1 - 0 = 1 $):

$$ \frac{1}{2}(1 - 0) \le J \le \frac{1}{\sqrt{3}}(1 - 0) \implies \frac{1}{2} \le J \le \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Conclusión: Queda demostrado rigurosamente que $ \frac{1}{2} \le J \le \frac{\sqrt{3}}{3} $

ð Ejemplo 4 Hallar el punto exacto $ c \in [0, 4] $ que satisface el Teorema del Valor Medio para el cálculo integral en la función irracional:

$$ f(x) = \sqrt{x} $$

ð PASO 1

Enunciamos la tesis del Teorema del Valor Medio Integral: como $ f(x) = \sqrt{x} $ es continua en el intervalo cerrado $ [0, 4] $, existe $ c \in [0, 4] $ tal que:

$$ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = f(c) \cdot (4 - 0) = 4 \sqrt{c} $$

ð PASO 2

Calculamos el valor numérico de la integral definida en el primer miembro:

$$ \int_0^4 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4 = \left[ \frac{2}{3} x\sqrt{x} \right]_0^4 = \frac{2}{3}(4\sqrt{4}) - 0 = \frac{2}{3}(4 \cdot 2) = \frac{16}{3} $$

ð PASO 3

Igualamos la integral al producto de la longitud por la altura media y despejamos $ \sqrt{c} $:

$$ 4 \sqrt{c} = \frac{16}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{16}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} $$

ð PASO 4

Elevamos ambos miembros al cuadrado para obtener el valor del punto $ c $:

$$ c = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1.7778 $$

Comprobamos que $ \frac{16}{9} \in (0, 4) $, ya que $ 0 < 1.778 < 4 $

Conclusión: El punto garantizado por el teorema es $ c = \frac{16}{9} $, y el valor medio o altura promedio de la función es $ \mu = \frac{4}{3} $

ð Ejemplo 5 Calcular utilizando propiedades de paridad y simetría la integral definida:

$$ I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left( x^5 \cos(2x) + \tan(x) + 3x^2 - 1 \right) dx $$

ð PASO 1

Observamos que el intervalo de integración $ [-\pi/4, \pi/4] $ es estrictamente simétrico respecto al origen de coordenadas.

Recordamos que para cualquier función impar $ g(-x) = -g(x) $ se tiene:

$$ \int_{-a}^a g(x) \, dx = 0 $$

y para cualquier función par $ h(-x) = h(x) $:

$$ \int_{-a}^a h(x) \, dx = 2 \int_0^a h(x) \, dx $$

ð PASO 2

Clasificamos la paridad de cada sumando de la función integrando:

- $ g_1(x) = x^5 \cos(2x) $: $$ g_1(-x) = (-x)^5 \cos(-2x) = -x^5 \cos(2x) = -g_1(x) $$

Por tanto, $ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^5 \cos(2x) \, dx = 0 $

- $ g_2(x) = \tan(x) $: $ \tan(-x) = -\tan(x) $

Por tanto, $ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan(x) \, dx = 0 $

- $ h(x) = 3x^2 - 1 $: $ h(-x) = 3(-x)^2 - 1 = 3x^2 - 1 = h(x) $

ð PASO 3

Reducimos la integral completa al cálculo exclusivo de la parte par multiplicada por dos:

$$ I = 0 + 0 + 2 \int_0^{\pi/4} (3x^2 - 1) \, dx $$

ð PASO 4

Integramos la expresión polinómica reducida:

$$ I = 2 \left[ x^3 - x \right]_0^{\pi/4} = 2 \left( \left(\frac{\pi}{4}\right)^3 - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{\pi^3}{64} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi^3}{32} - \frac{\pi}{2} $$

Conclusión: Gracias a las propiedades de simetría de Riemann, la integral compleja se reduce inmediatamente a $ \frac{\pi^3}{32} - \frac{\pi}{2} $