8.2 8.2 Teorema fundamental del cálculo

ci-8-2-1 8.2 Teorema fundamental del cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) constituye el nexo matemático más profundo del análisis matemático infinitesimal, al demostrar formalmente que los dos problemas clave del cálculo —el cálculo diferencial (determinación de tangentes y velocidades instantáneas) y el cálculo integral (determinación de áreas y cantidades acumuladas)— son operaciones inversas la una de la otra.

La Función Integral (Función de Acumulación)

Sea $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ una función integrable según Riemann.

Fijando el extremo inferior en $ a $, definimos la función integral o función área acumulada $ F: [a, b] \to \mathbb{R} $ como:

$$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \quad \forall x \in [a, b] $$

⚙️ Propiedad: de continuidad

Aunque $ f(t) $ posea discontinuidades de salto finito acotadas, la función de acumulación $ F(x) $ es siempre continua en todo el intervalo $ [a, b] $ (de hecho, es Lipschitz-continua con constante $ M = \sup |f| $).

📝 Ejemplo: de función integral: Sea $ f(t) = 3t^2 $ en $ [0, 5] $. Su función integral con origen en 0 es:

$$ F(x) = \int_0^x 3t^2 \, dt = [t^3]_0^x = x^3 - 0 = x^3 $$

Enunciado del Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Sea $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ una función continua en el intervalo cerrado $ [a, b] $. Entonces la función integral $ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $ es derivable en todo punto interior $ x \in (a, b) $, y su derivada coincide exactamente con el valor de la función original evaluada en dicho punto:

$$ F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = f(x) \quad \forall x \in (a, b) $$

Idea esencial de la demostración: Calculando el cociente incremental:

$$ \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt $$

Por el Teorema del Valor Medio Integral, existe $ c_h \in [x, x+h] $ tal que $ \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c_h) $. Al tomar el límite cuando $ h \to 0 $, como $ f $ es continua, $$ c_h \to x \implies \lim_{h \to 0} f(c_h) = f(x) $$

📝 Ejemplo: de derivación directa de integral:

Para la función acumulada de la campana de Gauss $ F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt $, aunque su primitiva no admite expresión analítica elemental cerrada, su derivada según el TFC es inmediata:

$$ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_0^x e^{-t^2} \, dt = e^{-x^2} $$

Generalización: Regla de Leibniz para Límites Variables

Si ambos límites de integración son funciones derivables de la variable independiente $ x $, es decir, $ \Phi(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt $, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas se obtiene la Regla de Leibniz:

$$ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt \right] = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x) $$

📝 Ejemplo: de regla de Leibniz: Sea $ \Phi(x) = \int_1^{x^2} \sin(t) \, dt $

Aquí $ v(x) = x^2 \implies v'(x) = 2x $ y $ u(x) = 1 \implies u'(x) = 0 $. Por tanto:

$$ \Phi'(x) = \sin(x^2) \cdot (2x) - \sin(1) \cdot (0) = 2x \sin(x^2) $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular la derivada de la siguiente función definida mediante límites de integración dependientes de variables no lineales:

$$ \Phi(x) = \int_{x^2}^{x^3} \sqrt{1 + t^4} \, dt $$

👉 PASO 1

Identificamos los elementos que componen la función integral:

- Función integrando continua: $ f(t) = \sqrt{1 + t^4} $

- Límite superior de integración: $ v(x) = x^3 \implies v'(x) = 3x^2 $

- Límite inferior de integración: $ u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x $

👉 PASO 2

Escribimos la expresión formal de la Regla de Leibniz:

$$ \Phi'(x) = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x) $$

👉 PASO 3

Evaluamos el integrando en cada uno de los límites:

- En el límite superior: $$ f(v(x)) = \sqrt{1 + (x^3)^4} = \sqrt{1 + x^{12}} $$

- En el límite inferior: $$ f(u(x)) = \sqrt{1 + (x^2)^4} = \sqrt{1 + x^8} $$

👉 PASO 4

Multiplicamos por las respectivas derivadas y componemos la derivada total:

$$ \Phi'(x) = \left( \sqrt{1 + x^{12}} \right) \cdot (3x^2) - \left( \sqrt{1 + x^8} \right) \cdot (2x) $$

$$ \Phi'(x) = 3x^2 \sqrt{1 + x^{12}} - 2x \sqrt{1 + x^8} $$

✅ Conclusión

La derivada de la función integral es $ 3x^2\sqrt{1 + x^{12}} - 2x\sqrt{1 + x^8} $

📝 Ejemplo 2 Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y clasificar los extremos relativos en $ \mathbb{R} $ de la función:

$$ G(x) = \int_0^x (t - 1)(t - 3) e^t \, dt $$

👉 PASO 1

Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar la primera derivada ordinaria de $ G(x) $:

$$ G'(x) = (x - 1)(x - 3) e^x $$

👉 PASO 2

Determinamos los puntos críticos igualando la derivada a cero ($ G'(x) = 0 $):

$$ (x - 1)(x - 3) e^x = 0 $$

Como la función exponencial $ e^x > 0 $ nunca se anula para ningún número real, los únicos puntos críticos son las raíces del polinomio:

$$ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3 $$

👉 PASO 3

Analizamos el signo de $ G'(x) $ en los tres intervalos disjuntos:

- En $ (-\infty, 1) $: tomamos $$ x = 0 \implies G'(0) = (-1)(-3)e^0 = +3 > 0 \implies G(x) $$ es estrictamente creciente.

- En $ (1, 3) $: tomamos $$ x = 2 \implies G'(2) = (1)(-1)e^2 = -e^2 < 0 \implies G(x) $$ es estrictamente decreciente.

- En $ (3, +\infty) $: tomamos $$ x = 4 \implies G'(4) = (3)(1)e^4 = +3e^4 > 0 \implies G(x) $$ es estrictamente creciente.

👉 PASO 4

Clasificamos los extremos según el criterio del cambio de signo de la primera derivada:

- En $ x = 1 $: la derivada pasa de positiva a negativa, por tanto la función presenta un máximo relativo.

- En $ x = 3 $: la derivada pasa de negativa a positiva, por tanto la función presenta un mínimo relativo.

✅ Conclusión

$ G(x) $ es creciente en $ (-\infty, 1) \cup (3, \infty) $, decreciente en $ (1, 3) $, posee un máximo relativo en $ x = 1 $ y un mínimo relativo en $ x = 3 $

📝 Ejemplo 3 Calcular el siguiente límite indeterminado del tipo cero entre cero aplicando la regla de L'Hôpital y el TFC:

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2) \, dt}{x^3} $$

👉 PASO 1

Comprobamos el tipo de indeterminación al evaluar directamente en el punto límite $ x = 0 $:

- Numerador: $ \int_0^0 \sin(t^2) \, dt = 0 $

- Denominador: $ 0^3 = 0 $

Obtenemos la indeterminación clásica del tipo $ \left[ \frac{0}{0} \right] $

👉 PASO 2

Como tanto el numerador como el denominador son derivables en un entorno del origen, aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador respecto a $ x $:

- Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada del numerador es:

$$ \frac{d}{dx} \left[ \int_0^x \sin(t^2) \, dt \right] = \sin(x^2) $$

- La derivada del denominador es:

$$ \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2 $$

👉 PASO 3

Planteamos el nuevo límite cociente:

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{3x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} $$

👉 PASO 4

Reconocemos el límite notable trigonométrico fundamental $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $ haciendo $ u = x^2 \to 0 $:

$$ L = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $$

✅ Conclusión

El valor del límite es exactamente $ \frac{1}{3} $

📝 Ejemplo 4 Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en el origen $ x_0 = 0 $ de la función:

$$ H(x) = \int_0^x \sqrt{1 + 3t} \, dt $$

👉 PASO 1

Para obtener el polinomio de Taylor de segundo orden $$ P_2(x) = H(0) + H'(0)x + \frac{H''(0)}{2!}x^2 $$, necesitamos los valores numéricos de $ H(0) $, $ H'(0) $ y $ H''(0) $

👉 PASO 2

Evaluamos la función en el centro:

$$ H(0) = \int_0^0 \sqrt{1 + 3t} \, dt = 0 $$

👉 PASO 3

Calculamos la primera derivada mediante el TFC:

$$ H'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_0^x \sqrt{1 + 3t} \, dt \right] = \sqrt{1 + 3x} $$

Evaluamos en $ x = 0 $:

$$ H'(0) = \sqrt{1 + 3(0)} = \sqrt{1} = 1 $$

👉 PASO 4

Calculamos la segunda derivada derivando ordinariamente $ H'(x) = (1 + 3x)^{1/2} $:

$$ H''(x) = \frac{1}{2}(1 + 3x)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{1 + 3x}} $$

Evaluamos en $ x = 0 $:

$$ H''(0) = \frac{3}{2\sqrt{1 + 0}} = \frac{3}{2} $$

👉 PASO 5

Construimos el polinomio de Taylor:

$$ P_2(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{3/2}{2} x^2 = x + \frac{3}{4}x^2 $$

✅ Conclusión

El polinomio de Taylor de orden dos en el origen es $ P_2(x) = x + \frac{3}{4}x^2 $

📝 Ejemplo 5 Resolver la siguiente ecuación integral hallando la función continua desconocida $ f(x) $:

$$ f(x) = 5 + \int_0^x 2 f(t) \, dt \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

👉 PASO 1

Analizamos la condición inicial de la función evaluando la ecuación integral en el origen $ x = 0 $:

$$ f(0) = 5 + \int_0^0 2 f(t) \, dt = 5 + 0 = 5 $$

👉 PASO 2

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto a la variable independiente $ x $ aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo:

$$ \frac{d}{dx}[f(x)] = \frac{d}{dx}\left[ 5 + \int_0^x 2f(t) \, dt \right] \implies f'(x) = 0 + 2f(x) $$

Obtenemos la ecuación diferencial lineal de variables separadas:

$$ f'(x) = 2f(x) $$

👉 PASO 3

Resolvemos la ecuación diferencial separando variables:

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \implies \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \int 2 \, dx \implies \ln|f(x)| = 2x + C_1 $$

Tomamos la función exponencial en ambos miembros:

$$ |f(x)| = e^{2x + C_1} = e^{C_1} e^{2x} \implies f(x) = K e^{2x} \quad (K \in \mathbb{R}) $$

👉 PASO 4

Determinamos la constante $ K $ imponiendo la condición inicial obtenida en el Paso 1 ($ f(0) = 5 $):

$$ f(0) = K e^{2(0)} = K \cdot 1 = 5 \implies K = 5 $$

Sustituyendo:

$$ f(x) = 5e^{2x} $$

✅ Conclusión

La única función continua que satisface la ecuación integral es la función exponencial $ f(x) = 5e^{2x} $