19 Dinámica: movimiento circular y fuerza centrípeta

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Deducción de la aceleración normal

Consideremos una partícula que describe una circunferencia de radio $R $ con velocidad angular constante $\omega $

Su vector de posición en función del tiempo, con el origen en el centro, es:

$$\vec{r}(t) = R\cos\omega t\,\vec{e}_x + R\,\text{sen}\,\omega t\,\vec{e}_y $$

Derivando respecto del tiempo se obtiene la velocidad:

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -R\omega\,\text{sen}\,\omega t\,\vec{e}_x + R\omega\cos\omega t\,\vec{e}_y $$

cuyo módulo es constante, $v = \omega R $, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.

Derivando de nuevo se obtiene la aceleración:

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -R\omega^2\cos\omega t\,\vec{e}_x - R\omega^2\,\text{sen}\,\omega t\,\vec{e}_y $$

Comparando con $\vec{r}(t) $ se ve que

$$\vec{a} = -\omega^2\vec{r} $$

La aceleración apunta en sentido contrario al vector de posición, es decir, hacia el centro de la circunferencia, y su módulo es:

$$a_n = \omega^2R = \frac{v^2}{R} $$

Se llama aceleración normal o centrípeta: existe siempre que la trayectoria se curva, aunque el módulo de la velocidad varíe.

ð Ejemplo:

Un coche toma una curva de $R = 80 \text{ m} $ a $v = 72 \text{ km/h} $

Calcula su aceleración centrípeta.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir la velocidad al Sistema Internacional.

A continuación aplicaremos la fórmula general de la aceleración normal.

Para terminar interpretaremos el resultado.

ð PASO 1

Conversión de unidades.

$$v = 72\text{ km/h} = \frac{72}{3,6} = 20 \text{ m/s} $$

ð PASO 2

Aceleración normal.

La fórmula general es:

$$a_n = \frac{v^2}{R} $$

$$a_n = \frac{20^2}{80} = \frac{400}{80} = 5 \text{ m/s}^2 $$

dirigida hacia el centro de la curva.

Conclusión: el coche experimenta una aceleración lateral de $5 \text{ m/s}^2 $, casi la mitad de la gravedad, que debe proporcionar el rozamiento de los neumáticos.

2. La fuerza centrípeta no es una fuerza nueva.

Aplicando la segunda ley en la dirección radial:

$$\sum F_n = ma_n = m\frac{v^2}{R} $$

La fuerza centrípeta no es una fuerza más que se añada al diagrama de cuerpo libre: es el nombre que recibe la resultante de las fuerzas reales en la dirección radial cuando el cuerpo describe una curva.

Según el caso, harán de fuerza centrípeta la tensión de una cuerda, la normal de una superficie, el rozamiento de los neumáticos o la atracción gravitatoria.

El error típico es añadir al diagrama una fuerza centrífuga hacia fuera "para compensar": en un sistema de referencia inercial esa fuerza no existe; lo que se siente en un coche al tomar una curva es la inercia del propio cuerpo, no una fuerza aplicada sobre él.

3. Componentes normal y tangencial de la segunda ley.

En una trayectoria curva general conviene descomponer la segunda ley en la dirección tangente y en la normal:

$$\sum F_t = m\frac{dv}{dt} $$

$$\sum F_n = m\frac{v^2}{R} $$

La componente tangencial cambia el módulo de la velocidad y la componente normal cambia su dirección.

En el movimiento circular uniforme $\frac{dv}{dt} = 0 $ y toda la resultante es centrípeta.

4. El peralte.

En las curvas de carreteras y vías de tren el firme se inclina un ángulo $\theta $ hacia el interior de la curva: es el peralte.

Así, la normal tiene una componente horizontal hacia el centro que puede proporcionar la fuerza centrípeta sin necesidad de rozamiento.

Para un vehículo que toma la curva con velocidad $v $, la segunda ley en vertical y en horizontal (sin rozamiento) da

$$N\cos\theta - mg = 0 $$

$$N\,\text{sen}\,\theta = m\frac{v^2}{R} $$

Dividiendo ambas:

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gR} $$

Cada peralte está diseñado para una velocidad concreta, la velocidad de diseño.

Si el vehículo circula más deprisa o más despacio, el rozamiento debe aportar la diferencia, hacia dentro o hacia fuera respectivamente;

si la velocidad se aleja demasiado, el rozamiento no basta y el vehículo derrapa.

5. Aplicaciones y casos límite.

La misma física describe el péndulo cónico, donde la componente horizontal de la tensión es la fuerza centrípeta; la curva plana sin peralte, donde todo el trabajo lo hace el rozamiento; y los satélites en órbita, donde la atracción gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta.

Cuando $R \rightarrow \infty $, la aceleración normal tiende a cero y se recupera el movimiento rectilíneo.

ð Ejemplo 1:

Una curva de radio $R = 200 \text{ m} $ tiene un peralte de $\theta = 10^\circ $

Calcula la velocidad de diseño y, con rozamiento de coeficiente $\mu_e = 0,3 $, el intervalo de velocidades en que puede tomarse la curva sin derrapar.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por deducir la fórmula general de la velocidad de diseño sin rozamiento.

A continuación la evaluaremos.

Para terminar plantearemos el equilibrio límite con rozamiento en ambos extremos del intervalo.

ð PASO 1

Velocidad de diseño.

De $\tan\theta = \frac{v^2}{gR} $ se despeja la fórmula general

$$v_d = \sqrt{gR\tan\theta} $$

$$v_d = \sqrt{9,8\cdot 200\cdot\tan 10^\circ} = \sqrt{1960\cdot 0,1763} = \sqrt{345,6} = 18,59 \text{ m/s} $$

que son $66,9 \text{ km/h} $

ð PASO 2

Intervalo con rozamiento.

Con rozamiento, en el límite de derrape hacia fuera (velocidad máxima) el rozamiento apunta hacia dentro del peralte con valor $\mu_e N $; en el límite de deslizamiento hacia dentro (velocidad mínima) apunta hacia fuera.

Las fórmulas generales de los extremos son:

$$v_{\text{máx}} = \sqrt{gR\,\frac{\text{sen}\,\theta + \mu_e\cos\theta}{\cos\theta - \mu_e\,\text{sen}\,\theta}} $$

$$v_{\text{mín}} = \sqrt{gR\,\frac{\text{sen}\,\theta - \mu_e\cos\theta}{\cos\theta + \mu_e\,\text{sen}\,\theta}} $$

Con $\text{sen}\,10^\circ = 0,1736 $ y $\cos 10^\circ = 0,9848 $:

Numerador de $v_{\text{máx}} $: $$0,1736 + 0,3\cdot 0,9848 = 0,1736 + 0,2954 = 0,4690 $$

Denominador: $$0,9848 - 0,3\cdot 0,1736 = 0,9848 - 0,0521 = 0,9327 $$

$$v_{\text{máx}} = \sqrt{9,8\cdot 200\cdot\frac{0,4690}{0,9327}} = \sqrt{1960\cdot 0,5028} = \sqrt{985,5} = 31,39 \text{ m/s} $$

que son $113 \text{ km/h} $

Numerador de $v_{\text{mín}} $: $0,1736 - 0,2954 = -0,1218 $, negativo: ni siquiera en reposo el vehículo deslizaría hacia dentro, luego $v_{\text{mín}} = 0 $

Conclusión: la velocidad de diseño es $66,9 \text{ km/h} $ y con rozamiento la curva admite hasta $113 \text{ km/h} $ sin derrapar.

ð Ejemplo 2:

En una atracción de feria, las personas están de pie contra la pared interior de un cilindro vertical de radio $R = 3 \text{ m} $ que gira; al alcanzar cierta velocidad se retira el suelo y las personas quedan pegadas a la pared.

Si $\mu_e = 0,4 $, calcula la velocidad angular mínima para que nadie caiga y el período de rotación correspondiente.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por dibujar las fuerzas sobre una persona y aplicar la segunda ley en dirección radial y vertical.

A continuación impondremos la condición límite del rozamiento estático.

Para terminar despejaremos la fórmula general y sustituiremos los datos.

ð PASO 1

Fuerzas y segunda ley.

Sobre la persona actúan el peso $mg $ hacia abajo, la normal $\vec{N} $ de la pared hacia el centro y el rozamiento estático $\vec{f}_e $ hacia arriba.

En dirección radial la normal es la fuerza centrípeta:

$$N = m\omega^2R $$

En vertical, para que no caiga:

$$f_e = mg \leq \mu_e N $$

ð PASO 2

Velocidad angular mínima.

En el caso límite $mg = \mu_e m\omega^2R $, de donde la fórmula general es:

$$\omega_{\text{mín}} = \sqrt{\frac{g}{\mu_e R}} $$

La masa se simplifica: vale para todas las personas.

$$\omega_{\text{mín}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,4\cdot 3}} = \sqrt{\frac{9,8}{1,2}} = \sqrt{8,1667} = 2,86 \text{ rad/s} $$

El período correspondiente es:

$$T_p = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2,86} = 2,20 \text{ s} $$

Conclusión: el cilindro debe dar una vuelta cada $2,20 \text{ s} $ como máximo; la normal, que crece con $\omega^2 $, es la que permite al rozamiento sostener el peso.

ð Ejemplo 3:

Deduce la velocidad de un satélite en órbita circular baja alrededor de la Tierra, con $$R_T = 6400 \text{ km} \ \text{e}\ g = 9,8 \text{ m/s}^2 $$ en la superficie, y calcula su período orbital.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la fuerza que actúa como centrípeta en la órbita.

A continuación aplicaremos la segunda ley en dirección radial.

Para terminar despejaremos la fórmula general de la velocidad y calcularemos el período.

ð PASO 1

Fuerza centrípeta gravitatoria.

La única fuerza sobre el satélite es su peso $mg $ dirigido al centro de la Tierra, que actúa como fuerza centrípeta.

La segunda ley radial es:

$$mg = m\frac{v^2}{R_T} $$

ð PASO 2

Velocidad orbital.

Simplificando la masa se obtiene la fórmula general

$$v = \sqrt{gR_T} $$

independiente de la masa del satélite.

$$v = \sqrt{9,8\cdot 6,4\cdot 10^6} = \sqrt{6,272\cdot 10^7} = 7920 \text{ m/s} $$

Es la primera velocidad cósmica: unos $28\,500 \text{ km/h} $

El período orbital es:

$$T_p = \frac{2\pi R_T}{v} = \frac{2\pi\cdot 6,4\cdot 10^6}{7920} = 5077 \text{ s} $$

que son unos $84,6 \text{ min} $

Conclusión: un satélite en órbita baja viaja a $7,92 \text{ km/s} $ y da la vuelta a la Tierra en unos 85 minutos, en caída libre permanente.

ð Ejemplo 4:

Un coche de masa $m $ toma una curva plana sin peralte de radio $R = 100 \text{ m} $

El coeficiente de rozamiento estático de los neumáticos es $\mu_e = 0,6 $

Calcula la velocidad máxima sin derrapar y discute el riesgo de vuelco.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la fuerza centrípeta disponible.

A continuación impondremos su valor máximo para obtener la fórmula general de la velocidad límite.

Para terminar discutiremos el vuelco como fenómeno distinto del derrape.

ð PASO 1

Fuerza centrípeta.

Sin peralte, la única fuerza horizontal es el rozamiento estático, que actúa como fuerza centrípeta:

$$f_e = m\frac{v^2}{R} \leq \mu_e N = \mu_e mg $$

ð PASO 2

Velocidad máxima.

En el límite $m\frac{v^2}{R} = \mu_e mg $, luego la fórmula general es:

$$v_{\text{máx}} = \sqrt{\mu_e gR} $$

$$v_{\text{máx}} = \sqrt{0,6\cdot 9,8\cdot 100} = \sqrt{588} = 24,25 \text{ m/s} $$

que son $87,3 \text{ km/h} $

ð PASO 3

Discusión del vuelco.

El derrape no es el único peligro: el rozamiento se aplica en el suelo mientras la inercia actúa en el centro de masas, a una altura $h $, y este par tiende a volcar el coche hacia fuera.

El vuelco ocurre cuando la normal se concentra en las ruedas exteriores; un coche alto y estrecho vuelca antes de derrapar, mientras que un coche bajo y ancho derrapa antes de volcar.

Por eso los vehículos todoterreno llevan avisos de riesgo de vuelco: su centro de masas alto reduce el margen.

Conclusión: sin derrapar se puede circular hasta $87,3 \text{ km/h} $; el vuelco es un fenómeno de momentos que la segunda ley del centro de masas por sí sola no describe.

ð Ejemplo 5:

Dos bloques de masas $$m_1 = 1 \text{ kg} \ \text{e}\ m_2 = 2 \text{ kg} $$ están sobre una mesa horizontal sin rozamiento, unidos entre sí y al centro de rotación por dos cuerdas ideales: la cuerda interior, de longitud $r_1 = 0,5 \text{ m} $, une el centro con $m_1 $, y la exterior, de longitud $r_2 - r_1 = 0,5 \text{ m} $, une $m_1 $ con $m_2 $, que queda a $r_2 = 1 \text{ m} $ del centro.

El conjunto gira con $\omega = 6 \text{ rad/s} $

Calcula las tensiones de ambas cuerdas.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la segunda ley radial para el bloque exterior.

A continuación la escribiremos para el bloque interior, que siente las dos tensiones.

Para terminar sustituiremos los datos numéricos.

ð PASO 1

Bloque exterior.

Sobre $m_2 $ la única fuerza horizontal es la tensión $T_2 $ de la cuerda exterior, hacia el centro, que actúa como fuerza centrípeta:

$$T_2 = m_2\omega^2r_2 $$

ð PASO 2

Bloque interior.

Sobre $m_1 $ actúan $T_1 $ hacia el centro y $T_2 $ hacia fuera (reacción de la cuerda exterior sobre $m_1 $).

La resultante hacia el centro es la fuerza centrípeta de $m_1 $:

$$T_1 - T_2 = m_1\omega^2r_1 \rightarrow T_1 = T_2 + m_1\omega^2r_1 $$

ð PASO 3

Sustitución numérica.

$$T_2 = 2\cdot 36\cdot 1 = 72 \text{ N} $$

$$T_1 = 72 + 1\cdot 36\cdot 0,5 = 72 + 18 = 90 \text{ N} $$

La cuerda interior soporta más tensión porque debe proporcionar la fuerza centrípeta de las dos masas.

Conclusión: las tensiones son $T_1 = 90 \text{ N} $ en la cuerda interior y $T_2 = 72 \text{ N} $ en la exterior.