20 Dinámica: ley de Hooke
Enunciado de la ley de Hooke
Al deformar un muelle una longitud \(x \) respecto de su longitud natural, el muelle ejerce una fuerza proporcional a la deformación y opuesta a ella:
donde \(k \) es la constante elástica del muelle, que mide su rigidez.
En forma vectorial, tomando el eje \(x \) a lo largo del muelle con origen en la posición natural de su extremo:
El signo menos es esencial:
si se estira el muelle (\(x > 0 \)), la fuerza tira hacia atrás;
si se comprime (\(x < 0 \)), la fuerza empuja hacia delante.
Es una fuerza restauradora: siempre tiende a devolver al muelle a su longitud natural.
La unidad de \(k \) en el Sistema Internacional es el newton por metro, \(\text{N/m} \)
Un muelle de constante \(k = 150 \text{ N/m} \) se estira \(8 \text{ cm} \)
Calcula la fuerza que ejerce.
Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir la deformación al Sistema Internacional.
A continuación aplicaremos la fórmula general de la ley de Hooke.
Para terminar interpretaremos el signo.
Conversión.
Fuerza.
La fórmula general del módulo es \(F = kx \):
El muelle tira hacia su longitud natural con \(12 \text{ N} \)
la fuerza elástica es proporcional a la deformación, \(12 \text{ N} \) en este caso.
Límites de validez: el límite elástico
La ley de Hooke solo vale para deformaciones pequeñas, en el régimen lineal del material.
Si se supera el límite elástico, el muelle queda deformado permanentemente (zona plástica) y al seguir estirando se alcanza el punto de rotura.
Por eso los dinamómetros y las básculas de muelle llevan marcada su carga máxima: más allá de ella la proporcionalidad deja de cumplirse y el aparato se estropea.
Medida estática de la constante elástica
El procedimiento más directo para medir \(k \) es colgar masas conocidas del muelle vertical y medir los alargamientos.
En equilibrio, la fuerza elástica iguala al peso:
Representando el peso frente al alargamiento se obtiene una recta cuya pendiente es \(k \); la linealidad de la gráfica comprueba la ley de Hooke.
Muelles en serie y en paralelo
Dos muelles pueden asociarse de dos formas, con resultados opuestos.
En serie, uno a continuación del otro, ambos soportan la misma fuerza \(F \) y los alargamientos se suman:
luego la constante equivalente cumple
y el conjunto es más blando que cada muelle por separado.
En paralelo, uno junto al otro, ambos sufren la misma deformación \(x \) y las fuerzas se suman:
luego
y el conjunto es más rígido.
Energía potencial elástica
Este apartado es un adelanto del tema de trabajo y energía: se presenta el resultado, cuya justificación completa se dará allí.
El trabajo realizado por la fuerza elástica al pasar de la deformación \(x_1 \) a la \(x_2 \) se calcula integrando, pues la fuerza varía con la posición:
El trabajo realizado contra el muelle para deformarlo desde \(0 \) hasta \(x \) es por tanto \(\frac{1}{2}kx^2 \), y queda almacenado en el muelle en forma de energía potencial elástica:
que se recupera íntegramente al volver el muelle a su longitud natural, porque la fuerza elástica es conservativa.
El muelle vertical y el desplazamiento del equilibrio
Si el muelle cuelga verticalmente con una masa \(m \), el peso desplaza la posición de equilibrio una cantidad \(x_0 \) dada por \(kx_0 = mg \)
Midiendo las deformaciones desde el nuevo equilibrio, la dinámica es idéntica a la del muelle horizontal: el peso constante solo cambia el punto alrededor del cual oscila el sistema.
Al colgar una masa de \(m = 0,5 \text{ kg} \) de un muelle vertical, este se alarga \(\Delta L = 4 \text{ cm} \)
Calcula la constante elástica y el alargamiento que produciría una masa de \(1,2 \text{ kg} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la condición de equilibrio del muelle vertical.
A continuación despejaremos la fórmula general de la constante y la evaluaremos.
Para terminar aplicaremos la proporcionalidad a la segunda masa.
Condición de equilibrio.
En equilibrio \(k\Delta L = mg \), luego la fórmula general es
Cálculo de la constante.
Alargamiento para la segunda masa.
Por la linealidad de la ley de Hooke, \(\Delta L = \frac{mg}{k} \):
que son \(9,6 \text{ cm} \)
la constante es \(k = 122,5 \text{ N/m} \) y la masa de \(1,2 \text{ kg} \) alargaría \(9,6 \text{ cm} \), dentro del régimen lineal.
Un bloque de \(m = 3 \text{ kg} \) está unido a un muelle horizontal de \(k = 100 \text{ N/m} \) sobre una superficie sin rozamiento.
Se estira el muelle \(0,2 \text{ m} \) desde su longitud natural y se suelta desde el reposo.
Calcula la aceleración inicial del bloque y la aceleración cuando pasa por la posición natural.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la segunda ley con la fuerza elástica como única fuerza horizontal.
A continuación obtendremos la fórmula general de la aceleración en función de la deformación.
Para terminar la evaluaremos en los dos instantes pedidos.
Segunda ley con fuerza elástica.
La única fuerza horizontal es la del muelle, \(F_e = -kx \)
La segunda ley da
La aceleración es proporcional a la deformación y de sentido contrario: máxima en los extremos y nula en la posición natural.
Evaluación.
En el instante inicial \(x = 0,2 \text{ m} \):
el signo indica que va hacia la posición natural.
Al pasar por la posición natural \(x = 0 \):
aunque la velocidad es máxima en ese instante.
el bloque arranca con \(6,67 \text{ m/s}^2 \) hacia el equilibrio y lo cruza con aceleración nula pero velocidad máxima.
Un muelle vertical de \(k = 200 \text{ N/m} \) sostiene una masa de \(m = 2 \text{ kg} \)
Calcula el alargamiento en el equilibrio y la aceleración inicial si, desde el equilibrio, se estira \(0,1 \text{ m} \) más y se suelta.
Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar la posición de equilibrio igualando el peso a la fuerza elástica.
A continuación analizaremos las fuerzas en el instante del estiramiento adicional.
Para terminar calcularemos la aceleración inicial con la segunda ley.
Alargamiento de equilibrio.
La condición de equilibrio es \(kx_0 = mg \), luego la fórmula general es
Aceleración tras el estiramiento adicional.
Al estirar \(0,1 \text{ m} \) más, la deformación total es \(x = 0,198 \text{ m} \)
La fuerza elástica hacia arriba vale
y el peso hacia abajo
La segunda ley con positivo hacia arriba:
Nótese que $$a = \frac{k}{m}\cdot 0,1 = \frac{200}{2}\cdot 0,1 = 10 \text{ m/s}^2 $$: solo cuenta el estiramiento respecto del equilibrio, como se afirmó en la teoría.
el equilibrio está \(9,8 \text{ cm} \) por debajo de la longitud natural y al soltar desde \(10 \text{ cm} \) más abajo el bloque arranca hacia arriba con \(10 \text{ m/s}^2 \)
Se dispone de dos muelles de constantes $$k_1 = 100 \text{ N/m} \ \text{e}\ k_2 = 300 \text{ N/m} $$
Calcula la constante equivalente en serie y en paralelo, y el alargamiento total en cada caso al colgar una masa de \(m = 2 \text{ kg} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por deducir las fórmulas generales de la asociación en serie y en paralelo.
A continuación las evaluaremos con los datos.
Para terminar calcularemos los alargamientos con la masa colgada.
Fórmulas generales.
En serie:
En paralelo:
Evaluación.
más blando que cualquiera de los dos.
más rígido que cualquiera de los dos.
Alargamientos con la masa.
La fórmula general del alargamiento en equilibrio es $$\Delta L = \frac{mg}{k_{\text{eq}}} ,\ \text{con}\ mg = 19,6 \text{ N} $$
En serie:
En paralelo:
en serie la constante equivalente es \(75 \text{ N/m} \) con \(26,1 \text{ cm} \) de alargamiento, y en paralelo \(400 \text{ N/m} \) con \(4,9 \text{ cm} \)
Un bloque de \(m = 1 \text{ kg} \) desliza sin rozamiento sobre una superficie horizontal con velocidad \(v_0 = 4 \text{ m/s} \) hacia un muelle de \(k = 200 \text{ N/m} \) fijo en la pared.
Aplicando la conservación de la energía mecánica, calcula la compresión máxima del muelle.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar las formas de energía en el instante inicial y en el de máxima compresión.
A continuación igualaremos la energía cinética inicial a la potencial elástica final, pues no hay rozamiento que disipe energía.
Para terminar despejaremos la fórmula general y sustituiremos los datos.
Balance de energía.
Este razonamiento es un adelanto del tema de trabajo y energía, donde se justificará en general; la energía potencial elástica almacenada en el muelle es \(E_p = \frac{1}{2}kx^2 \)
En el instante inicial toda la energía es cinética:
En la máxima compresión \(x_{\text{máx}} \) el bloque se detiene instantáneamente y toda la energía es potencial elástica:
Sin rozamiento no hay disipación, luego \(E_0 = E_f \)
Fórmula general y sustitución.
La fuerza máxima que llega a ejercer el muelle es
el muelle se comprime como máximo \(28,3 \text{ cm} \), instante en que toda la energía cinética inicial se ha almacenado como energía potencial elástica.