21 Trabajo y energía: trabajo de una fuerza
Trabajo de una fuerza constante
Cuando una fuerza constante \(\vec{F} \) actúa sobre una partícula que sufre un desplazamiento rectilíneo \(\Delta\vec{r} \), el trabajo realizado por la fuerza se define como el producto escalar de ambos vectores:
donde \(F \) es el módulo de la fuerza, \(\Delta r \) es el módulo del desplazamiento y \(\theta \) es el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento.
La presencia del producto escalar tiene un motivo físico profundo: solo la componente de la fuerza paralela al desplazamiento contribuye a transferir energía al cuerpo.
En efecto, si se descompone la fuerza en una componente paralela y otra perpendicular al desplazamiento, la componente perpendicular no produce avance en su propia dirección y no realiza trabajo.
El producto escalar selecciona automáticamente la componente útil, pues \(F\cos\theta \) es exactamente la proyección de la fuerza sobre la dirección del desplazamiento.
Una fuerza constante de \(20\text{ N} \) empuja un bloque a lo largo de \(3\text{ m} \) en su misma dirección y sentido.
Como el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es cero, el trabajo vale:
Signo del trabajo e interpretación física
El signo del trabajo lo determina el ángulo \(\theta \) que forman la fuerza y el desplazamiento.
Si el ángulo es agudo, el coseno es positivo y el trabajo es positivo: la fuerza cede energía al cuerpo y tiende a aumentar el módulo de su velocidad.
Si el ángulo es obtuso, el coseno es negativo y el trabajo es negativo: la fuerza extrae energía del cuerpo y tiende a frenarlo.
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el coseno es nulo y el trabajo es nulo: aunque la fuerza esté actuando, no hay transferencia de energía.
Un trabajo nulo no significa fuerza nula: la tensión del hilo que sostiene un péndulo en movimiento y la fuerza normal sobre un bloque que desliza son perpendiculares al desplazamiento en todo instante y no realizan trabajo.
El trabajo del peso es positivo cuando el cuerpo desciende y negativo cuando asciende, porque el peso apunta siempre hacia abajo.
Un bloque es arrastrado \(5\text{ m} \) sobre una superficie horizontal mediante una fuerza de \(40\text{ N} \) que forma 60° con la horizontal.
El trabajo de la fuerza aplicada es:
El peso y la fuerza normal son perpendiculares al desplazamiento horizontal, de modo que realizan un trabajo nulo.
Trabajo de una fuerza variable: la integral de línea
Cuando la fuerza varía de un punto a otro o la trayectoria no es rectilínea, la definición del apartado 1 no puede aplicarse de forma directa.
La estrategia consiste en dividir la trayectoria en tramos infinitesimales \(d\vec{r} \) tan pequeños que en cada uno de ellos la fuerza pueda considerarse constante y el tramo rectilíneo.
El trabajo elemental realizado en uno de esos tramos es:
Sumando las contribuciones de todos los tramos y tomando el límite de tramos infinitesimales, la suma se convierte en una integral de línea:
Esta integral se calcula parametrizando la trayectoria y, en general, su valor depende del camino seguido entre \(A \) y \(B \)
En el caso particular del movimiento unidimensional sobre el eje \(x \), con una fuerza \(F = F(x) \) que solo depende de la posición, la integral de línea se reduce a una integral definida ordinaria:
Geométricamente, esta integral es el área comprendida entre la curva \(y = F(x) \) y el eje de abscisas, contada con signo positivo donde la fuerza es positiva y con signo negativo donde es negativa.
Sobre una partícula que se mueve en el eje \(x \) actúa la fuerza \(F(x) = 4x ,\ \text{con}\ F \) en newtons y \(x \) en metros.
El trabajo realizado cuando la partícula se desplaza desde \(x = 1\text{ m} \) hasta \(x = 3\text{ m} \) es el área bajo la recta entre esos dos puntos:
Trabajo de varias fuerzas: el trabajo neto
Cuando sobre una partícula actúan varias fuerzas \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \ldots \), el trabajo total o neto es la suma de los trabajos realizados por cada una de ellas:
La linealidad de la integral permite introducir la suma dentro del integrando: el trabajo neto coincide con el trabajo que realizaría la fuerza resultante \(\vec{R} = \sum\vec{F}_i \)
Esta propiedad es esencial porque el teorema de las fuerzas vivas relaciona precisamente el trabajo neto con la variación de la energía cinética.
En la práctica, las fuerzas perpendiculares al desplazamiento en todo instante tienen trabajo idénticamente nulo y pueden excluirse del balance.
Unidades y dimensiones del trabajo
En el Sistema Internacional la unidad de trabajo es el julio, definido como:
El julio es una unidad pequeña en la vida cotidiana: levantar una manzana de unos \(100 \, \text{g} \) \(1 \, \text{m} \) de altura requiere aproximadamente \(1 \, \text{J} \)
En el sistema cegesimal se usa el ergio, con la equivalencia \(1\text{ erg} = 10^{-7}\text{ J} \)
Dimensionalmente, el trabajo tiene dimensiones de energía:
Que el trabajo sea un escalar con dimensiones de energía anticipa su papel central en la física: el trabajo mide la energía transferida por la acción de una fuerza a lo largo de un desplazamiento.
Un bloque de \(2\text{ kg} \) es empujado \(6\text{ m} \) sobre una superficie horizontal sin rozamiento mediante una fuerza constante de \(30\text{ N} \) que forma un ángulo de 37° por encima de la horizontal.
Calcula el trabajo realizado por la fuerza aplicada, el trabajo realizado por el peso y por la normal, y el trabajo neto sobre el bloque.
Para resolver este ejemplo empezaremos por descomponer la situación en las tres fuerzas que actúan sobre el bloque.
A continuación calcularemos el trabajo de cada una atendiendo al ángulo que forma con el desplazamiento.
Para terminar sumaremos las contribuciones para obtener el trabajo neto.
Identificación de las fuerzas y sus ángulos con el desplazamiento.
Sobre el bloque actúan tres fuerzas: la fuerza aplicada \(\vec{F} \) de \(30\text{ N} \) a 37° sobre la horizontal, el peso \(\vec{P} \) vertical hacia abajo y la fuerza normal \(\vec{N} \) vertical hacia arriba.
El desplazamiento \(\Delta\vec{r} \) es horizontal, de módulo \(6\text{ m} \)
Los ángulos con el desplazamiento son: 37° para la fuerza aplicada, 90° para el peso y 90° para la normal.
Trabajo de la fuerza aplicada.
La fórmula general del trabajo de una fuerza constante es \(W = F\,\Delta r\cos\theta \)
Los datos son: \(F = 30\text{ N} \), \(\Delta r = 6\text{ m} \) y \(\theta = 37° ,\ \text{con}\ cos 37° = 0,8 \)
Sustituyendo:
Trabajo del peso y de la normal.
El peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento horizontal, luego \(\theta = 90° \) y \(\cos 90° = 0 \)
Por tanto:
Aunque el peso y la normal están actuando sobre el bloque, no transfieren energía porque no tienen componente en la dirección del desplazamiento.
Trabajo neto.
El trabajo neto es la suma de los trabajos individuales:
La fuerza aplicada realiza un trabajo de 144 J, el peso y la normal realizan un trabajo nulo, y el trabajo neto sobre el bloque es de 144 J.
La fuerza que actúa sobre una partícula que se mueve en el eje \(x \) viene dada por $$F(x) = F_0\left(1-\frac{x}{L}\right) ,\ \text{con}\ F_0 $$ y \(L \) constantes positivas.
Calcula el trabajo realizado por esta fuerza cuando la partícula se desplaza desde \(x = 0 \) hasta \(x = L \), e interpreta geométricamente el resultado.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la integral del trabajo para esta fuerza variable.
A continuación calcularemos la integral definida aplicando la regla de Barrow.
Para terminar interpretaremos el resultado como el área de un triángulo en la gráfica fuerza-posición.
Planteamiento de la integral del trabajo.
Al tratarse de una fuerza unidimensional que depende de la posición, la fórmula general es \(W = \int_{x_A}^{x_B}F(x)\,dx \)
Sustituyendo la expresión de la fuerza y los límites \(x_A = 0 \) y \(x_B = L \):
Cálculo de la integral definida.
Una primitiva del integrando es \(F_0\left(x-\frac{x^2}{2L}\right) \), pues al derivarla se recupera \(F_0\left(1-\frac{x}{L}\right) \)
Aplicando la regla de Barrow:
Interpretación geométrica.
En la gráfica de \(F \) frente a \(x \), la fuerza describe una recta que vale \(F_0 \) en \(x = 0 \) y se anula en \(x = L \)
El área encerrada es un triángulo de base \(L \) y altura \(F_0 \), cuya área es \(\frac{1}{2}F_0L \), en pleno acuerdo con el resultado de la integral.
El trabajo realizado por la fuerza entre \(x = 0 \) y \(x = L \) es \(W = \frac{1}{2}F_0L \), que geométricamente es el área del triángulo bajo la gráfica fuerza-posición.
Sobre una partícula que se mueve en el plano actúa la fuerza $$\vec{F} = (3x, 2y)\text{ N} ,\ \text{con}\ x \ \text{e}\ y $$ en metros.
Calcula el trabajo realizado por esta fuerza cuando la partícula se desplaza desde \(A(0,0) \) hasta \(B(2,3) \) siguiendo el camino quebrado que va primero por el eje \(x \) hasta \((2,0) \) y después verticalmente hasta \(B \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por parametrizar cada tramo del camino quebrado.
A continuación calcularemos la integral de línea en cada tramo por separado.
Para terminar sumaremos ambas contribuciones.
Parametrización del primer tramo.
En el primer tramo la partícula se mueve sobre el eje \(x \), de modo que \(y = 0 \) y \(dy = 0 ,\ \text{con}\ x \) variando desde 0 hasta
2.
El trabajo elemental es \(dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} = F_x\,dx+F_y\,dy \)
Como \(dy = 0 \) y \(F_x = 3x \):
Parametrización del segundo tramo.
En el segundo tramo \(x = 2 \) es constante, de modo que \(dx = 0 ,\ \text{con}\ y \) variando desde 0 hasta
3.
Ahora \(F_y = 2y \) y el trabajo es:
Trabajo total.
El trabajo total es la suma de los trabajos de cada tramo:
El trabajo realizado por la fuerza a lo largo del camino quebrado desde \(A(0,0) \) hasta \(B(2,3) \) es de 15 J.
Una partícula de masa \(m \) asciende verticalmente una altura \(h \) y a continuación desciende de nuevo hasta el punto de partida, describiendo así una trayectoria cerrada.
Calcula el trabajo realizado por el peso en la subida, en la bajada y en el ciclo completo.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el trabajo del peso en un desplazamiento vertical genérico.
A continuación lo aplicaremos a la subida y a la bajada por separado.
Para terminar sumaremos ambas contribuciones y discutiremos el resultado.
Trabajo del peso en un desplazamiento vertical.
El peso es \(\vec{P} = -mg\,\vec{e}_y \), tomando el eje \(y \) hacia arriba.
En un desplazamiento vertical entre \(y_A \ \text{e}\ y_B \), la fórmula general \(W = \int\vec{F}\cdot d\vec{r} \) da:
Trabajo en la subida y en la bajada.
En la subida, \(y_B-y_A = h \):
El trabajo es negativo porque el peso se opone al ascenso.
En la bajada, \(y_B-y_A = -h \):
El trabajo es positivo porque el peso actúa a favor del descenso.
Trabajo en el ciclo completo.
Sumando ambas contribuciones:
El peso realiza un trabajo \(-mgh \) en la subida y \(+mgh \) en la bajada, de modo que el trabajo en el ciclo cerrado es nulo, como corresponde a una fuerza conservativa.
Un satélite de masa \(m \) describe una órbita circular de radio \(r \) alrededor de la Tierra con velocidad de módulo constante \(v \). Demuestra que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre el satélite en una vuelta completa es nulo y explica qué implica este resultado sobre el módulo de la velocidad.
Para resolver este ejemplo empezaremos por analizar la dirección de la fuerza gravitatoria respecto al desplazamiento del satélite.
A continuación calcularemos el trabajo elemental y el trabajo en una vuelta completa.
Para terminar extraeremos la consecuencia física sobre la velocidad.
Dirección relativa de fuerza y desplazamiento.
La fuerza gravitatoria sobre el satélite es central: apunta en todo instante hacia el centro de la órbita.
El desplazamiento infinitesimal \(d\vec{r} \) es tangente a la órbita circular.
El radio y la tangente de una circunferencia son perpendiculares, de modo que el ángulo entre \(\vec{F} \) y \(d\vec{r} \) es 90° en todo instante.
Trabajo elemental y trabajo en una vuelta.
El trabajo elemental es:
Al ser nulo el integrando en todos los puntos, la integral sobre la vuelta completa también es nula:
Consecuencia sobre la velocidad.
Por el teorema de las fuerzas vivas, \(W_{\text{neto}} = \Delta E_c \)
Como la gravitatoria es la única fuerza que actúa, \(W_{\text{neto}} = 0 \) y por tanto \(\Delta E_c = 0 \)
La energía cinética no cambia, luego el módulo de la velocidad permanece constante, en coherencia con la hipótesis de órbita circular uniforme.
La fuerza gravitatoria no realiza trabajo sobre el satélite en su órbita circular porque es perpendicular al desplazamiento en todo instante, y por ello el módulo de la velocidad del satélite no varía.