22 Trabajo y energía: teorema de las fuerzas vivas
La energía cinética
Se define la energía cinética de una partícula de masa \(m \) que se mueve con velocidad de módulo \(v \) como:
Es una magnitud escalar, siempre mayor o igual que cero, que mide la energía que posee la partícula por el hecho de estar en movimiento.
La energía cinética depende del sistema de referencia: la misma partícula tiene distinta energía cinética para distintos observadores, porque la velocidad es una magnitud relativa.
Su unidad en el Sistema Internacional es el julio, como corresponde a toda forma de energía.
Obsérvese que la energía cinética crece con el cuadrado de la velocidad: duplicar la velocidad multiplica por cuatro la energía cinética, lo que explica la gravedad de los accidentes a alta velocidad.
Un automóvil de \(1000\text{ kg} \) circula a \(20\text{ m/s} \)
Su energía cinética es:
Demostración del teorema de las fuerzas vivas
Partimos de la segunda ley de Newton aplicada a una partícula de masa constante:
Calculamos el trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas entre dos puntos \(A \) y \(B \) de la trayectoria.
Por definición de trabajo neto:
Sustituimos la segunda ley de Newton en el integrando:
Ahora utilizamos la relación cinemática entre el desplazamiento infinitesimal y la velocidad, \(d\vec{r} = \vec{v}\,dt \)
Al sustituirla, los diferenciales de tiempo se cancelan:
El integrando \(m\,\vec{v}\cdot d\vec{v} \) es exactamente la diferencial de \(\frac{1}{2}mv^2 \)
En efecto, derivando: $$d\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{1}{2}m\cdot 2v\,dv = mv\,dv = m\,\vec{v}\cdot d\vec{v} $$
Por tanto, la integral es inmediata y queda:
Queda demostrado el teorema de las fuerzas vivas: el trabajo neto realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.
Interpretación física del teorema
Si el trabajo neto es positivo, la energía cinética aumenta: la resultante tiene componente a favor del movimiento y la partícula acelera.
Si el trabajo neto es negativo, la energía cinética disminuye: la resultante se opone al movimiento y la partícula se frena.
Si el trabajo neto es nulo, la energía cinética no cambia: el módulo de la velocidad permanece constante, aunque su dirección pueda variar, como ocurre en el movimiento circular uniforme.
El teorema es válido sean cuales sean las fuerzas aplicadas: constantes o variables, conservativas o no conservativas.
Históricamente se llamó "fuerzas vivas" a la magnitud \(mv^2 \), de ahí el nombre del teorema.
El teorema como alternativa a la dinámica
Muchos problemas que por vía dinámica exigirían integrar la aceleración respecto del tiempo se resuelven con una sola ecuación escalar.
El precio de esta simplificación es la pérdida de información temporal: el teorema relaciona posiciones con velocidades, pero no dice cuánto tiempo tarda el proceso.
Tampoco informa sobre la dirección de la velocidad final, solo sobre su módulo.
Cuando se necesita la evolución temporal o la trayectoria detallada, hay que recurrir a la segunda ley de Newton.
Límites de validez
La demostración utiliza la masa constante y la forma \(\sum\vec{F} = m\vec{a} \), válida en mecánica newtoniana para velocidades muy inferiores a la de la luz.
En relatividad especial la energía cinética adopta otra expresión, aunque la idea de que el trabajo es variación de energía se mantiene.
El teorema se aplica a partículas puntuales o a sólidos en traslación pura;
para sistemas extensos deformables hay que considerar además la variación de su energía interna.
Un automóvil de \(1200\text{ kg} \) aumenta su velocidad desde \(15\text{ m/s} \) hasta \(25\text{ m/s} \). Calcula el trabajo neto realizado sobre el automóvil durante la aceleración.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el teorema de las fuerzas vivas.
A continuación calcularemos la energía cinética inicial y final del automóvil.
Para terminar obtendremos el trabajo neto como la diferencia entre ambas.
Aplicación del teorema de las fuerzas vivas.
La fórmula general del teorema es $$W_{\text{neto}} = \Delta E_c = \frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2 $$
Los datos son: \(m = 1200\text{ kg} \), \(v_A = 15\text{ m/s} \) y \(v_B = 25\text{ m/s} \)
Cálculo de las energías cinéticas.
La energía cinética inicial es:
La energía cinética final es:
Trabajo neto.
Restando ambas energías:
Conclusión: El trabajo neto realizado sobre el automóvil durante la aceleración es de 240000 J.
Un bloque de \(3\text{ kg} \) desliza sobre una superficie horizontal con una velocidad inicial de \(8\text{ m/s} \). Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es \(\mu = 0,2 \), calcula la distancia que recorre el bloque hasta detenerse.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar el teorema de las fuerzas vivas entre el instante inicial y el de detención.
A continuación expresaremos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
Para terminar despejaremos la distancia recorrida.
Teorema de las fuerzas vivas entre el inicio y la detención.
La fórmula general es \(W_{\text{neto}} = E_{cB}-E_{cA} \)
En el instante final el bloque está en reposo, luego \(E_{cB} = 0 \)
La única fuerza horizontal que realiza trabajo es el rozamiento, de módulo \(F_{\text{roz}} = \mu N = \mu mg \), y sentido opuesto al desplazamiento, de modo que su trabajo es negativo:
Igualando:
Despeje de la distancia.
La masa \(m \) aparece en ambos miembros y se simplifica.
Despejando \(d \) se obtiene la fórmula general:
Los datos son: \(v_0 = 8\text{ m/s} \), \(\mu = 0,2 \) y \(g = 9,8\text{ m/s}^2 \)
Sustituyendo:
Conclusión: El bloque recorre 16,33 m hasta detenerse.
Una pelota de \(0,5\text{ kg} \) se deja caer desde una altura de \(15\text{ m} \). Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, calcula la velocidad con la que llega al suelo y comprueba que coincide con el resultado cinemático.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la única fuerza que realiza trabajo durante la caída.
A continuación aplicaremos el teorema de las fuerzas vivas entre el punto de suelta y el suelo.
Para terminar compararemos con la fórmula cinemática de la caída libre.
Trabajo del peso durante la caída.
La única fuerza que realiza trabajo es el peso, \(\vec{P} = m\vec{g} \), que actúa a favor del desplazamiento vertical de módulo \(h = 15\text{ m} \)
Su trabajo es positivo:
Aplicación del teorema.
El teorema de las fuerzas vivas establece $$W_{\text{neto}} = \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2 $$
Como la pelota parte del reposo, \(v_0 = 0 \), y queda:
La masa se simplifica y se obtiene la fórmula general:
Con \(g = 9,8\text{ m/s}^2 \) y \(h = 15\text{ m} \):
Comparación con la cinemática.
La cinemática de la caída libre da \(v^2 = v_0^2+2gh \), que con \(v_0 = 0 \) conduce a la misma expresión \(v = \sqrt{2gh} \)
Ambos métodos coinciden, como exige la coherencia de la mecánica.
Conclusión: La pelota llega al suelo con una velocidad de 17,15 m/s, resultado idéntico al obtenido por cinemática.
Una partícula de \(2\text{ kg} \), inicialmente en reposo en \(x = 0 \), es empujada por una fuerza variable \(F(x) = kx \) con \(k = 50\text{ N/m} \). Calcula la velocidad de la partícula cuando alcanza la posición \(x = 0,4\text{ m} \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el trabajo realizado por la fuerza variable mediante su integral.
A continuación aplicaremos el teorema de las fuerzas vivas.
Para terminar despejaremos la velocidad y sustituiremos los datos.
Trabajo de la fuerza variable.
La fórmula general del trabajo para una fuerza unidimensional es \(W = \int_{x_A}^{x_B}F(x)\,dx \)
Sustituyendo \(F(x) = kx \) y los límites \(0 \) y \(0,4\text{ m} \):
Aplicación del teorema y despeje de la velocidad.
El teorema de las fuerzas vivas da \(W = \frac{1}{2}mv^2-0 \), pues la partícula parte del reposo.
Despejando la velocidad se obtiene la fórmula general:
Con \(W = 4\text{ J} \) y \(m = 2\text{ kg} \):
Conclusión: La partícula alcanza la posición \(x = 0,4\text{ m} \) con una velocidad de 2 m/s.
Un cuerpo de \(5\text{ kg} \) se mueve con velocidad constante de \(4\text{ m/s} \) sobre una superficie horizontal sin rozamiento, atado a una cuerda que lo obliga a describir una circunferencia.
Explica por qué el módulo de la velocidad no cambia aplicando el teorema de las fuerzas vivas.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar las fuerzas que actúan y el trabajo que realiza cada una.
A continuación aplicaremos el teorema de las fuerzas vivas.
Para terminar extraeremos la conclusión sobre el módulo de la velocidad.
Fuerzas y sus trabajos.
Sobre el cuerpo actúan el peso \(\vec{P} \), la normal \(\vec{N} \) y la tensión \(\vec{T} \) de la cuerda.
El peso y la normal son verticales mientras el desplazamiento es horizontal: ambas son perpendiculares al desplazamiento y realizan un trabajo nulo.
La tensión apunta en todo instante hacia el centro de la circunferencia, mientras el desplazamiento es tangente a ella: también son perpendiculares en todo instante.
Por tanto:
Aplicación del teorema.
El trabajo neto es la suma de los tres:
El teorema de las fuerzas vivas establece \(W_{\text{neto}} = \Delta E_c \), luego:
Conclusión: Como ninguna fuerza realiza trabajo, la energía cinética se mantiene y el módulo de la velocidad permanece constante en 4 m/s, aunque su dirección cambie continuamente.