Ejercicio 1: Aplicación con función a trozos
Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la función en \( [-1, 1] \):
\[ f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{si } x \le 0 \\ 1 - x & \text{si } x > 0 \end{cases} \]Paso 1: Continuidad en \( x = 0 \):
\[ \lim_{x \to 0^-} (1-x^2) = 1, \quad \lim_{x \to 0^+} (1-x) = 1, \quad f(0) = 1 \implies \text{Continua en } [-1, 1] \]
Paso 2: Derivabilidad en \( x = 0 \):
\[ f'_-(0) = \left.(-2x)\right|_{x=0} = 0, \quad f'_+(0) = \left.(-1)\right|_{x=0} = -1 \]
Como \( f'_-(0) \ne f'_+(0) \), la función no es derivable en \( x = 0 \in (-1, 1) \).
Conclusión: Al fallar la hipótesis de derivabilidad en el interior, no es aplicable el teorema de Rolle.
Ejercicio 2: Demostración de raíces en intervalo
Probar que la ecuación \( 2x - 1 - \sin x = 0 \) tiene exactamente una raíz en \( [0, 1] \).
Existencia: \( g(x) = 2x - 1 - \sin x \). Es continua en \( [0, 1] \).
\[ g(0) = -1 < 0 \]
\[ g(1) = 2(1) - 1 - \sin(1) = 1 - 0.841 = 0.159 > 0 \]
Por Bolzano, existe al menos una raíz en \( (0, 1) \).
Unicidad: \( g'(x) = 2 - \cos x \). Como \( -1 \le \cos x \le 1 \), se tiene \( g'(x) \ge 2 - 1 = 1 > 0 \) para todo \( x \). Al ser \( g'(x) \ne 0 \), por el teorema de Rolle no pueden existir dos raíces. La raíz es única.