1. Enunciado del Teorema de Rolle
Sea \( f(x) \) una función que cumple las tres hipótesis siguientes:
- \( f(x) \) es continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \).
- \( f(x) \) es derivable en el intervalo abierto \( (a, b) \).
- Toma el mismo valor en los extremos: \( f(a) = f(b) \).
Comprobemos el Teorema de Rolle para \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en el intervalo \([1, 3]\):
1) \(f\) es continua en \([1, 3]\) y derivable en \((1, 3)\) por ser polinómica.
2) \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) y \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 \implies f(1) = f(3)\).
El punto intermedio \( c = 2 \) verifica con exactitud el teorema.
2. Interpretación Geométrica y Aplicaciones
Geométricamente, el teorema garantiza que en al menos un punto intermedio \( c \) la recta tangente a la curva es perfectamente horizontal (paralela al eje de abscisas).
Aplicación fundamental a raíces de ecuaciones
Entre dos raíces reales consecutivas de una función derivable \( f(x) = 0 \), existe al menos una raíz de su derivada \( f'(x) = 0 \). Esto se utiliza para acotar el número máximo de raíces reales de un polinomio.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Verificación de hipótesis y cálculo de \( c \)
Comprobar el teorema de Rolle para \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en \( [1, 3] \) y hallar \( c \).
1. Es continua en \( [1, 3] \) y derivable en \( (1, 3) \) por ser polinómica.
2. \( f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 \) y \( f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 \implies f(1) = f(3) \).
Se cumplen las hipótesis. Calculamos \( f'(c) = 0 \):
\[ f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \in (1, 3) \implies c = 2 \]
Ejemplo 2: Unicidad de raíces combinando Bolzano y Rolle
Demostrar que la ecuación \( x^3 + 3x - 5 = 0 \) tiene una única raíz real.
Existencia (Bolzano): Sea \( f(x) = x^3 + 3x - 5 \). Es continua. \( f(1) = -1 < 0 \) y \( f(2) = 9 > 0 \implies \exists c_1 \in (1, 2) \) tal que \( f(c_1) = 0 \).
Unicidad (Rolle): Supongamos por reducción al absurdo que existieran dos raíces distintas \( x_1 < x_2 \). Por Rolle, existiría \( d \in (x_1, x_2) \) con \( f'(d) = 0 \). Pero \( f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \) (nunca se anula). Contradicción. Luego la raíz es única.
Ejemplo 3: Parámetro para que se cumpla Rolle
Hallar \( k \) para que \( f(x) = x^3 - kx \) cumpla Rolle en \( [0, 2] \) y hallar los puntos \( c \).
Continuidad y derivabilidad garantizadas. Exigimos \( f(0) = f(2) \):
\[ f(0) = 0, \quad f(2) = 8 - 2k = 0 \implies 2k = 8 \implies k = 4 \]
\[ f'(x) = 3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \]
El punto en \( (0, 2) \) es \( c = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \).