1. Enunciado del Teorema de Lagrange
Sea \( f(x) \) una función que satisface las siguientes hipótesis:
- \( f(x) \) es continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \).
- \( f(x) \) es derivable en el intervalo abierto \( (a, b) \).
Equivalentemente: \( f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \).
Hallemos el valor \( c \) que garantiza el teorema para \( f(x) = x^2 \) en \([0, 2]\):
En \( c = 1 \), la recta tangente es exactamente paralela a la recta secante que une los extremos.
2. Interpretación Geométrica y Cinemática
Geométrica: La pendiente de la recta tangente en \( x = c \) (dada por \( f'(c) \)) es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los extremos \( A(a, f(a)) \) y \( B(b, f(b)) \). Ambas rectas son paralelas.
Cinemática (Radar de tramo): Si la velocidad media de un vehículo en un tramo de carretera supera el límite legal, existió al menos un instante exacto en el que el velocímetro marcó como mínimo dicha velocidad media.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Verificación directa en un polinomio
Aplicar el teorema del valor medio a \( f(x) = x^3 - 3x \) en \( [0, 2] \) y hallar \( c \).
Es continua en \( [0, 2] \) y derivable en \( (0, 2) \).
\[ f(0) = 0, \quad f(2) = 8 - 6 = 2 \implies \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{2-0}{2} = 1 \]
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 1 \implies 3x^2 = 4 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \]
El valor que pertenece al intervalo abierto \( (0, 2) \) es \( c = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \).
Ejemplo 2: Radar de tramo en autovía
Un coche entra a una autovía con límite \( 120 \text{ km/h} \) a las 10:00 (km 0) y sale a las 10:30 (km 70). ¿Superó el límite?
Tiempo: \( \Delta t = 0.5 \text{ h} \), distancia: \( \Delta s = 70 \text{ km} \).
\[ v_m = \frac{s(0.5) - s(0)}{0.5 - 0} = \frac{70}{0.5} = 140 \text{ km/h} \]
Por el teorema del valor medio, existió al menos un instante \( t_0 \in (0, 0.5) \) donde la velocidad instantánea fue \( s'(t_0) = 140 \text{ km/h} > 120 \text{ km/h} \). Queda demostrado.
Ejemplo 3: Demostración de desigualdades
Demostrar que para todo \( x, y \in \mathbb{R} \) se cumple: \( |\sin x - \sin y| \le |x - y| \).
Si \( x = y \) es trivial. Si \( x < y \), consideramos \( f(t) = \sin t \) en \( [x, y] \). Por el TVM:
\[ \frac{\sin y - \sin x}{y - x} = \cos c \quad (c \in (x, y)) \implies |\sin y - \sin x| = |\cos c| \cdot |y - x| \]
Como \( |\cos c| \le 1 \) para cualquier valor real, se concluye: \( |\sin y - \sin x| \le |y - x| \).