Ejercicio 1: Determinación del punto intermedio en función radical
Hallar el valor \( c \) garantizado por el teorema del valor medio para \( f(x) = \sqrt{x} \) en \( [1, 9] \).
Paso 1: Comprobamos hipótesis: continua en \( [1, 9] \) y derivable en \( (1, 9) \).
Paso 2: Pendiente de la secante:
\[ \frac{f(9) - f(1)}{9 - 1} = \frac{3 - 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Paso 3: Igualamos a la derivada \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{4} \implies 2\sqrt{c} = 4 \implies \sqrt{c} = 2 \implies c = 4 \]
Como \( 4 \in (1, 9) \), el punto buscado es \( c = 4 \).
Ejercicio 2: Acotación de logaritmos mediante el TVM
Demostrar que para todo \( x > 0 \) se cumple: \( \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x \).
Paso 1: Consideramos \( f(t) = \ln t \) en \( [1, 1+x] \) con \( x > 0 \).
Paso 2: Por el TVM, existe \( c \in (1, 1+x) \) tal que:
\[ \frac{\ln(1+x) - \ln 1}{(1+x) - 1} = f'(c) = \frac{1}{c} \implies \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{1}{c} \implies \ln(1+x) = \frac{x}{c} \]
Paso 3: Como \( 1 < c < 1+x \), tomando inversos: \( \frac{1}{1+x} < \frac{1}{c} < 1 \).
Multiplicando por \( x > 0 \):
\[ \frac{x}{1+x} < \frac{x}{c} = \ln(1+x) < x \]