Ejercicio 1: Aplicación a funciones trigonométricas
Verificar el teorema de Cauchy para \( f(x) = \sin x \) y \( g(x) = \cos x \) en \( [0, \pi/2] \) y hallar \( c \).
Paso 1: Comprobamos hipótesis: continuas en \( [0, \pi/2] \), derivables en \( (0, \pi/2) \), y \( g'(x) = -\sin x \ne 0 \) en \( (0, \pi/2) \).
Paso 2: Cociente de incrementos:
\[ \frac{f(\pi/2) - f(0)}{g(\pi/2) - g(0)} = \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \]
Paso 3: Cociente de derivadas:
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{\cos c}{-\sin c} = -\cot c = -1 \implies \cot c = 1 \implies c = \frac{\pi}{4} \]
Como \( \frac{\pi}{4} \in (0, \pi/2) \), el punto es \( c = \frac{\pi}{4} \).
Ejercicio 2: Demostración teórica de no nulidad
Demostrar formalmente que si \( g(x) \) cumple las hipótesis de Cauchy, el denominador \( g(b) - g(a) \) nunca puede ser cero.
Demostración por contradicción:
Supongamos que \( g(b) - g(a) = 0 \implies g(a) = g(b) \).
Como \( g(x) \) es continua en \( [a, b] \) y derivable en \( (a, b) \), cumpliría todas las hipótesis del teorema de Rolle.
Por tanto, existiría algún punto \( c_0 \in (a, b) \) tal que \( g'(c_0) = 0 \).
Esto entra en contradicción directa con la hipótesis de Cauchy que exige \( g'(x) \ne 0 \) para todo \( x \in (a, b) \).
Por reducción al absurdo, \( g(b) \ne g(a) \).