Ejercicio 1: Parámetros a determinar mediante L'Hôpital
Calcular \( a \) y \( b \) para que se cumpla: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - a - bx}{x^2} = 3 \]
Paso 1: Para que el límite sea finito, el numerador en \( x = 0 \) debe anularse:
\[ e^0 - a - 0 = 1 - a = 0 \implies a = 1 \]
Paso 2: Tenemos indeterminación \( [0/0] \). Aplicamos L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - b}{2x} \]
Nuevamente debe anularse el numerador para evitar infinito:
\[ e^0 - b = 1 - b = 0 \implies b = 1 \]
Paso 3: Aplicamos L'Hôpital por segunda vez con \( a = 1, b = 1 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \]
Para que el límite sea \( 3 \), añadimos el coeficiente adecuado si el planteamiento es \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - a - bx}{x^2} = 3 \) o se deduce que con \( a = 1, b = 1 \) el valor es \( 1/2 \).
Ejercicio 2: Indeterminación \( \infty - \infty \)
Calcular el límite: \[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} \right) \]
Paso 1: Reducimos a común denominador:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1)\ln x} = \left[\frac{0}{0}\right] \]
Paso 2: Aplicamos L'Hôpital derivando numerador y denominador:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - 1/x}{1 \cdot \ln x + (x-1)(1/x)} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{x-1}{x}}{\ln x + 1 - 1/x} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x\ln x + x - 1} = \left[\frac{0}{0}\right] \]
Paso 3: Segunda aplicación de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + x(1/x) + 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2} \]