Ejercicio 1: Determinación de primitiva con paso por un punto
Hallar la función \( y = f(x) \) cuya derivada es \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) y cuya gráfica pasa por el punto \( P(2, 3) \).
Paso 1: Integramos \( f'(x) \):
\[ f(x) = \int (3x^2 - 6x + 2) \, dx = x^3 - 3x^2 + 2x + C \]
Paso 2: Imponemos que la gráfica pase por \( P(2, 3) \), es decir, \( f(2) = 3 \):
\[ 2^3 - 3(2^2) + 2(2) + C = 8 - 12 + 4 + C = 0 + C = 3 \implies C = 3 \]
Resultado final: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 3 \]
Ejercicio 2: Primitiva con recta tangente
Hallar la función \( f(x) \) sabiendo que \( f''(x) = 6x - 4 \), y que en \( x = 1 \) la recta tangente es \( y = 5x - 2 \).
Paso 1: Integramos \( f''(x) \) para obtener \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \int (6x - 4) \, dx = 3x^2 - 4x + C_1 \]
La pendiente de la tangente en \( x = 1 \) es \( m = 5 \implies f'(1) = 5 \):
\[ 3(1)^2 - 4(1) + C_1 = 5 \implies -1 + C_1 = 5 \implies C_1 = 6 \implies f'(x) = 3x^2 - 4x + 6 \]
Paso 2: Integramos para hallar \( f(x) \):
\[ f(x) = \int (3x^2 - 4x + 6) \, dx = x^3 - 2x^2 + 6x + C_2 \]
El punto de tangencia en la recta es: \( y(1) = 5(1) - 2 = 3 \implies f(1) = 3 \):
\[ 1^3 - 2(1^2) + 6(1) + C_2 = 5 + C_2 = 3 \implies C_2 = -2 \]
Resultado: \[ f(x) = x^3 - 2x^2 + 6x - 2 \]