1. Concepto y Definición de Primitiva
Dada una función \( f(x) \) definida en un intervalo \( I \), se dice que \( F(x) \) es una función primitiva (o antiderivada) de \( f(x) \) en \( I \) si su derivada coincide exactamente con \( f(x) \):
Comprobemos que \( F(x) = x^3 - 2x + 7 \) es una primitiva de \( f(x) = 3x^2 - 2 \):
Cualquier otra función \( G(x) = x^3 - 2x + C \) también es primitiva para cualquier constante \( C \in \mathbb{R} \).
2. La Constante de Integración y la Integral Indefinida
Si \( F(x) \) es una primitiva de \( f(x) \), cualquier otra función de la forma \( F(x) + C \) (donde \( C \in \mathbb{R} \) es una constante arbitraria) también es primitiva de \( f(x) \), ya que \( [F(x)+C]' = F'(x) + 0 = f(x) \).
Definición de Integral Indefinida
El conjunto de todas las infinitas primitivas de una función \( f(x) \) recibe el nombre de integral indefinida de \( f(x) \) y se denota:
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R} \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Primitiva inmediata de un monomio
Hallar la integral indefinida de \( f(x) = 3x^2 \).
Buscamos una función cuya derivada sea \( 3x^2 \). Como \( [x^3]' = 3x^2 \):
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Ejemplo 2: Determinación de la constante \( C \) bajo una condición inicial
Hallar la primitiva \( F(x) \) de \( f(x) = 2x - 4 \) que verifica \( F(1) = 5 \).
\[ F(x) = \int (2x - 4) \, dx = x^2 - 4x + C \]
Imponemos \( F(1) = 5 \): \( (1)^2 - 4(1) + C = 5 \implies 1 - 4 + C = 5 \implies C = 8 \).
La primitiva buscada es \( F(x) = x^2 - 4x + 8 \).
Ejemplo 3: Identificación por derivación
Comprobar si \( F(x) = x \ln x - x \) es primitiva de \( f(x) = \ln x \) para \( x > 0 \).
\[ F'(x) = [x]' \ln x + x [\ln x]' - [x]' = 1 \cdot \ln x + x \left(\frac{1}{x}\right) - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x \]
Al verificarse \( F'(x) = f(x) \), queda demostrado que \( F(x) \) es primitiva de \( \ln x \).