Propiedades de las integrales

1. Linealidad de la Integral Indefinida

La integración es un operador lineal que satisface dos propiedades fundamentales:

Integral de la suma o resta: La integral de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus integrales: \[ \int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \]
Extracción de constantes escalares: Una constante multiplicativa sale fuera del signo de integración: \[ \int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \quad (k \in \mathbb{R}, \; k \ne 0) \]

📌 Ejemplo Concreto de Linealidad:

Calculemos aplicando la linealidad de la integral:

\int (5x^3 - 4e^x) \, dx = 5\int x^3 \, dx - 4\int e^x \, dx = 5\left(\frac{x^4}{4}\right) - 4e^x + C = \frac{5}{4}x^4 - 4e^x + C

2. Operación Inversa a la Derivación

La derivación y la integración son operaciones mutuamente inversas:

\frac{d}{dx}\left[\int f(x) \, dx\right] = f(x) \qquad \int \left[\frac{d}{dx} f(x)\right] \, dx = f(x) + C

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Aplicación de la linealidad en polinomios

Calcular \( \int (5x^3 - 4x^2 + 7) \, dx \).

\[ \int (5x^3 - 4x^2 + 7) \, dx = 5\int x^3 \, dx - 4\int x^2 \, dx + 7\int 1 \, dx = 5\left(\frac{x^4}{4}\right) - 4\left(\frac{x^3}{3}\right) + 7x + C \]

Ejemplo 2: Descomposición de cociente en fracciones

Calcular \( \int \frac{3x^4 - 2x^2 + 5}{x^2} \, dx \).

Dividimos término a término antes de integrar:

\[ \int \left( 3x^2 - 2 + \frac{5}{x^2} \right) \, dx = 3\left(\frac{x^3}{3}\right) - 2x + 5\left(-\frac{1}{x}\right) + C = x^3 - 2x - \frac{5}{x} + C \]

Ejemplo 3: Combinación de funciones elementales

Calcular \( \int \left( 3e^x - 2\sin x + \frac{4}{x} \right) \, dx \).

\[ = 3\int e^x \, dx - 2\int \sin x \, dx + 4\int \frac{1}{x} \, dx = 3e^x - 2(-\cos x) + 4\ln|x| + C = 3e^x + 2\cos x + 4\ln|x| + C \]