Ejercicio 1: Integral con desarrollo algebraico previo
Calcular la integral indefinida: \[ \int (2x - 3)^2 \, dx \]
Paso 1: Desarrollamos el cuadrado del binomio:
\[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \]
Paso 2: Integramos aplicando la linealidad:
\[ \int (4x^2 - 12x + 9) \, dx = 4\left(\frac{x^3}{3}\right) - 12\left(\frac{x^2}{2}\right) + 9x + C = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C \]
Ejercicio 2: Fracción con raíces en el denominador
Calcular: \[ \int \frac{x^2 - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \, dx \]
Paso 1: Dividimos cada sumando entre \( \sqrt{x} = x^{1/2} \):
\[ \frac{x^2}{x^{1/2}} - \frac{2x^{1/2}}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} = x^{3/2} - 2 + x^{-1/2} \]
Paso 2: Integramos como potencias:
\[ \int (x^{3/2} - 2 + x^{-1/2}) \, dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 2x + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 2x + 2\sqrt{x} + C \]