Ejercicio 1: Potencial compuesta fraccionaria
Calcular: \[ \int \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^4} \, dx \]
Paso 1: Expresamos con exponente negativo: \( \int 3x^2 (x^3+1)^{-4} \, dx \).
Paso 2: Observamos \( u = x^3+1 \implies u' = 3x^2 \).
Paso 3: Aplicamos la regla potencial:
\[ \int u^{-4} u' \, dx = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3(x^3+1)^3} + C \]
Ejercicio 2: Ajuste de factor constante con raíz cúbica
Calcular: \[ \int x^2 \sqrt[3]{1 - 2x^3} \, dx \]
Paso 1: Escribimos como potencia: \( \int x^2 (1-2x^3)^{1/3} \, dx \).
Paso 2: Derivada interior: \( [1-2x^3]' = -6x^2 \). Ajustamos multiplicando por \( -6 \) y dividiendo por \( -6 \):
\[ = -\frac{1}{6} \int (-6x^2)(1-2x^3)^{1/3} \, dx \]
Paso 3: Integramos:
\[ = -\frac{1}{6} \frac{(1-2x^3)^{4/3}}{4/3} + C = -\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} (1-2x^3)^{4/3} + C = -\frac{1}{8}\sqrt[3]{(1-2x^3)^4} + C \]