Ejercicio 1: Ajuste de constante con grado 2 en denominador
Calcular: \[ \int \frac{x}{4x^2 + 7} \, dx \]
Paso 1: La derivada del denominador es \( [4x^2+7]' = 8x \).
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 8:
\[ \int \frac{x}{4x^2+7} \, dx = \frac{1}{8}\int \frac{8x}{4x^2+7} \, dx = \frac{1}{8}\ln(4x^2+7) + C \]
(Omitimos las barras de valor absoluto porque \( 4x^2+7 > 0 \) siempre).
Ejercicio 2: Fracción con logaritmo en el denominador
Calcular: \[ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \quad (x > 1) \]
Paso 1: Reescribimos la fracción como \( \int \frac{1/x}{\ln x} \, dx \).
Paso 2: Vemos que el numerador \( 1/x \) es exactamente la derivada del denominador \( u = \ln x \).
Paso 3: Aplicamos la fórmula logarítmica:
\[ \int \frac{1/x}{\ln x} \, dx = \ln|\ln x| + C \]