Ejercicio 1: Exponencial con raíz en el exponente
Calcular: \[ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx \]
Paso 1: La derivada del exponente es \( [\sqrt{x}]' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 2:
\[ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2e^{\sqrt{x}} + C \]
Ejercicio 2: Fracción con exponenciales
Calcular: \[ \int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 3} \, dx \]
Paso 1: Notemos que es de tipo logarítmico con exponenciales: \( [e^{2x}+3]' = 2e^{2x} \).
Paso 2: Ajustamos la constante 2:
\[ = \frac{1}{2} \int \frac{2e^{2x}}{e^{2x}+3} \, dx = \frac{1}{2}\ln(e^{2x}+3) + C \]