1. Integral de la Exponencial Natural
Para la base \( e \):
En su forma compuesta (casi-inmediata):
Calculemos ajustando la derivada del exponente:
2. Integral de la Exponencial de Base General \( a > 0 \, (a \ne 1) \)
Dado que \( [a^x]' = a^x \ln a \), dividimos entre \( \ln a \):
Y en su versión compuesta:
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Exponente cuadrático casi-inmediato
Calcular \( \int x e^{3x^2+1} \, dx \).
Derivada del exponente: \( [3x^2+1]' = 6x \). Multiplicamos y dividimos por 6:
\[ \int x e^{3x^2+1} \, dx = \frac{1}{6} \int 6x e^{3x^2+1} \, dx = \frac{1}{6} e^{3x^2+1} + C \]
Ejemplo 2: Base numérica distinta de \( e \)
Calcular \( \int 5^{2x-1} \, dx \).
Derivada del exponente: \( [2x-1]' = 2 \):
\[ = \frac{1}{2} \int 2 \cdot 5^{2x-1} \, dx = \frac{1}{2} \frac{5^{2x-1}}{\ln 5} + C = \frac{5^{2x-1}}{2\ln 5} + C \]
Ejemplo 3: Exponencial con función trigonométrica
Calcular \( \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx \).
Como \( [\sin x]' = \cos x \), la derivada está presente de forma inmediata:
\[ \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx = e^{\sin x} + C \]