1. Integrales Trigonométricas Inmediatas
- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \qquad \int u'(x) \cos(u(x)) \, dx = \sin(u(x)) + C \)
- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \qquad \int u'(x) \sin(u(x)) \, dx = -\cos(u(x)) + C \)
- \( \int \sec^2 x \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int (1+\tan^2 x) \, dx = \tan x + C \)
- \( \int \csc^2 x \, dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C \)
Calculemos ajustando el argumento:
2. Potencias de Funciones Trigonométricas
Potencia impar de seno o coseno: Se separa un factor simple (para que actúe como diferencial) y el resto de la potencia par se transforma usando \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Potencia par de seno o coseno: Se reducen los exponentes mediante las fórmulas del ángulo mitad:
\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Seno con argumento lineal
Calcular \( \int \sin(4x) \, dx \).
\[ \int \sin(4x) \, dx = \frac{1}{4} \int 4\sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C \]
Ejemplo 2: Tipo potencial con seno y coseno
Calcular \( \int \sin^3 x \cos x \, dx \).
Identificamos \( u = \sin x \implies u' = \cos x \):
\[ \int u^3 u' \, dx = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C \]
Ejemplo 3: Potencia par mediante ángulo mitad
Calcular \( \int \cos^2 x \, dx \).
\[ \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}\int 1 \, dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \]