Ejercicio 1: Potencia impar de seno
Calcular: \[ \int \sin^3 x \, dx \]
Paso 1: Separamos un factor seno: \( \sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x)\sin x \).
Paso 2: Descomponemos en dos integrales:
\[ \int (1 - \cos^2 x)\sin x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]
Paso 3: Integramos cada parte:
\[ -\cos x - \left(-\frac{\cos^3 x}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \]
Ejercicio 2: Tipo secante al cuadrado con polinomio
Calcular: \[ \int \frac{2x}{\cos^2(x^2 + 3)} \, dx \]
Paso 1: El argumento es \( u = x^2+3 \implies u' = 2x \).
Paso 2: Reconocemos la derivada de la tangente:
\[ \int \frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))} \, dx = \tan(u(x)) + C = \tan(x^2+3) + C \]