Ejercicio 1: Completar cuadrados para arcotangente
Calcular: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \]
Paso 1: El discriminante es negativo: \( 2^2 - 4(5) = -16 < 0 \). Completamos cuadrados:
\[ x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 = (x+1)^2 + 2^2 \]
Paso 2: Tenemos \( u = x+1 \implies u' = 1 \), y \( a = 2 \).
Paso 3: Aplicamos la fórmula del arcotangente:
\[ \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2^2} \, dx = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + C \]
Ejercicio 2: Completar cuadrados bajo la raíz
Calcular: \[ \int \frac{1}{\sqrt{5 - 4x - x^2}} \, dx \]
Paso 1: Completamos el trinomio bajo la raíz:
\[ 5 - 4x - x^2 = 5 - (x^2 + 4x) = 5 - [(x+2)^2 - 4] = 9 - (x+2)^2 = 3^2 - (x+2)^2 \]
Paso 2: Aplicamos la fórmula del arcoseno con \( u = x+2 \) y \( a = 3 \):
\[ \int \frac{1}{\sqrt{3^2 - (x+2)^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x+2}{3}\right) + C \]