Ejercicio 1: Integral de función logarítmica aislada
Calcular la integral: \[ \int \ln x \, dx \]
Paso 1: Hacemos \( u = \ln x \implies du = \frac{1}{x}dx \), y \( dv = dx \implies v = x \).
Paso 2: Aplicamos la fórmula:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \left(\frac{1}{x}\right) dx = x\ln x - \int 1 \, dx = x\ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C \]
Ejercicio 2: Doble aplicación por partes
Calcular: \[ \int x^2 \cos x \, dx \]
Paso 1: 1ª aplicación: \( u = x^2 \implies du = 2x dx \); \( dv = \cos x dx \implies v = \sin x \):
\[ \int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2\int x \sin x \, dx \]
Paso 2: 2ª aplicación sobre \( \int x \sin x \, dx \):
\( u = x \implies du = dx \); \( dv = \sin x dx \implies v = -\cos x \):
\[ \int x \sin x \, dx = -x\cos x - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \sin x \]
Paso 3: Sustituimos en la expresión completa:
\[ = x^2 \sin x - 2(-x\cos x + \sin x) + C = (x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C \]