Regla de L'Hôpital - Matemáticas II

1. Enunciado Formal de la Regla de L'Hôpital

Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) dos funciones derivables en un entorno de \( x = a \) (donde \( a \) puede ser finito o \( \pm\infty \)) con \( g'(x) \ne 0 \):

\text{Si } \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\frac{0}{0}\right] \quad \lor \quad \left[\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\right] \quad \text{y existe } \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

\implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Nota crítica: Se derivan el numerador \( f'(x) \) y el denominador \( g'(x) \) por separado de forma independiente. NO se aplica la regla de derivación del cociente.

2. Transformación de Otras Indeterminaciones

Caso \( [0 \cdot \infty] \): Escribir como cociente: \( f \cdot g = \frac{f}{1/g} \) o \( \frac{g}{1/f} \) para convertirlo en \( \left[\frac{0}{0}\right] \) o \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).
Caso \( [\infty - \infty] \): Reducir a común denominador o multiplicar y dividir por el conjugado algebraico.
Casos exponenciales \( [1^\infty], [0^0], [\infty^0] \): Tomar logaritmos neperianos: si \( L = \lim y \implies \ln L = \lim \ln y = \lim [g(x) \ln f(x)] \) (indeterminación \( 0 \cdot \infty \)), y finalmente \( L = e^{\ln L} \).

📌 Ejemplo Concreto de Transformación \([0 \cdot \infty]\):

Calculemos \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = [0 \cdot (-\infty)]\):

\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \left[\frac{-\infty}{\infty}\right] \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Indeterminación \( 0/0 \) con reiteración

Calcular \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \).

Indeterminación \( [0/0] \). Aplicamos L'Hôpital:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \left[\frac{0}{0}\right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = \left[\frac{0}{0}\right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6} \]

Ejemplo 2: Indeterminación \( 0 \cdot \infty \)

Calcular \( \lim_{x \to 0^+} (x \ln x) \).

Indeterminación \( [0 \cdot (-\infty)] \). Transformamos en cociente:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \left[\frac{-\infty}{\infty}\right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]

Ejemplo 3: Indeterminación exponencial \( 1^\infty \)

Calcular \( L = \lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x} \).

Tomamos logaritmos:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln((1+2x)^{1/x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x} = \left[\frac{0}{0}\right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{1} = 2 \]

\[ \ln L = 2 \implies L = e^2 \]