Bloque 3 • Análisis Matemático

Ejercicios resueltos: Asíntotas oblicuas

Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.

Ejercicio 1

Calcula la asíntota oblicua de \( f(x) = \frac{2x^3 + x^2}{x^2 + 1} \) y determina la posición relativa de la curva en el infinito.

Resolución:

1. Dividimos \( 2x^3 + x^2 \) entre \( x^2 + 1 \):

\[ 2x^3 + x^2 = (2x + 1)(x^2 + 1) + (-2x - 1) \implies f(x) = (2x + 1) + \frac{-2x - 1}{x^2 + 1} \]

Asíntota oblicua: \( y = 2x + 1 \).

2. Posición relativa: \( f(x) - y = \frac{-2x - 1}{x^2 + 1} \).

Si \( x \to +\infty \): \( f(x) - y < 0 \implies \) La curva va por debajo de la asíntota.
Si \( x \to -\infty \): \( f(x) - y > 0 \implies \) La curva va por encima de la asíntota.