1. Ecuación y Fórmulas de la Asíntota Oblicua
La recta oblicua \( y = mx + n \) (con \( m \neq 0 \)) es asíntota oblicua (AO) de \( f(x) \) si la distancia vertical entre la curva y la recta tiende a cero cuando \( x \to \pm \infty \):
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Pendiente: \[ m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \quad (m \in \mathbb{R}, \; m \neq 0) \]
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Ordenada en el origen: \[ n = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] \quad (n \in \mathbb{R}) \]
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Regla en racionales: Hay asíntota oblicua si y solo si el grado del numerador supera en exactamente una unidad al grado del denominador: \( \text{grado}(P) = \text{grado}(Q) + 1 \). La ecuación \( y = mx + n \) coincide con el cociente entero de la división polinómica.
📌 Ejemplo Concreto de Asíntota Oblicua:
Hallemos la asíntota oblicua \(y = mx + n\) de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x + 1} \):
$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 + x} = 1$$
$$n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\frac{x^2 + 2x - 1}{x + 1} - x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 1}{x + 1} = 1$$
Por tanto, la recta asíntota oblicua es \(y = x + 1\).
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: División polinómica directa
\( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \). Dividiendo \( x^2+1 \) entre \( x-1 \): \( f(x) = (x+1) + \frac{2}{x-1} \). La AO es \( y = x + 1 \).
Ejemplo 2: Aplicación sistemática de límites
\( m = \lim \frac{x^2+1}{x(x-1)} = 1 \), \( n = \lim [\frac{x^2+1}{x-1} - x] = \lim \frac{x+1}{x-1} = 1 \implies y = x + 1 \).
Ejemplo 3: Función irracional
\( f(x) = \sqrt{x^2+2x} \). Para \( x \to +\infty \implies m = 1, \, n = 1 \implies y = x + 1 \).