1. Clasificación de Ramas Infinitas
Cuando \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm \infty \) y no existe asíntota oblicua, la función posee una rama parabólica:
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Rama parabólica en la dirección del eje OY: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty \] Crecimiento superlineal (ej. polinomios de grado \( \ge 2 \), exponenciales).
2
Rama parabólica en la dirección del eje OX: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \] Crecimiento sublineal (ej. logaritmos, raíces de orden superior).
📌 Ejemplo Concreto de Rama Parabólica:
Analicemos el comportamiento en el infinito de la función \( f(x) = x^3 - 4x \):
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 4) = +\infty$$
Al ser \(m = \infty\), la curva carece de asíntota oblicua y describe una rama parabólica en la dirección del eje \(OY\).
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Dirección eje vertical OY
\( f(x) = x^3 - 4x \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-4x}{x} = \lim (x^2-4) = +\infty \implies \) Rama en dirección OY.
Ejemplo 2: Dirección eje horizontal OX
\( f(x) = \sqrt{x} \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \) Rama en dirección OX.
Ejemplo 3: Función logarítmica
\( f(x) = \ln x \implies \lim \frac{\ln x}{x} = 0 \implies \) Rama horizontal OX.